Netz und Oberfläche
Das Netz einer Pyramide besteht aus einem Vieleck und 5 Dreiecken. Welche Form hat die Grundfläche der Pyramide?
Erklärung: An jede Kante der Grundfläche schließt sich genau ein Dreieck an: 5 Dreiecke, also 5 Kanten, also ein Fünfeck. Ein Sechseck käme heraus, wenn man das Vieleck selbst als sechste Fläche mitzählt.
Dieses Netz lässt sich zu einer Pyramide zusammenfalten.
Erklärung: Ein Quadrat mit vier gleichschenkligen Dreiecken, die an den vier Seiten anschließen und sich beim Falten in einer Spitze treffen: das Netz einer quadratischen Pyramide.
Dieses Netz lässt sich zu einer Pyramide zusammenfalten.
Erklärung: Zwei Dreiecke und drei Rechtecke ergeben ein dreiseitiges Prisma. Bei einer Pyramide müssten alle Seitenflächen Dreiecke sein, die sich in einer Spitze treffen.
Wie viele Dreiecke hat das Netz einer Pyramide mit siebeneckiger Grundfläche?
Erklärung: Jede der 7 Grundkanten trägt ein Dreieck: 7 Dreiecke.
Das Netz einer Pyramide besteht aus 10 Flächen. Wie viele Ecken hat ihre Grundfläche?
Erklärung: Eine der 10 Flächen ist die Grundfläche, die übrigen 9 sind Dreiecke, eines je Grundkante. Also hat die Grundfläche 9 Kanten und 9 Ecken.
Die Pyramide hat die Grundkante a = 10 cm und die Körperhöhe h = 12 cm. Welche Rechnung liefert die Seitenhöhe h_s?
Erklärung: h_s ist die Hypotenuse des Dreiecks aus h und der halben Grundkante a/2 = 5. Mit der ganzen Kante 10 rechnet man falsch, und 12 + 5 addiert nur die Längen.
Tippe auf die Seitenhöhe der Pyramide (die Höhe einer Seitenfläche).
Erklärung: Die Seitenhöhe geht von der Spitze S zur Mitte N einer Grundkante und steht senkrecht auf ihr: SN. SM ist die Körperhöhe, MN läuft in der Grundfläche.
Eine gerade Pyramide hat a = 10 cm und h = 12 cm. Ihre Seitenhöhe h_s beträgt 13 cm.
Erklärung: h_s ist die Hypotenuse mit den Katheten h = 12 und a/2 = 5: h_s² = 144 + 25 = 169, also h_s = 13 cm. Die Seitenhöhe ist länger als die Körperhöhe, hier 13 statt 12 cm.
Eine gerade quadratische Pyramide hat die Grundkante a = 16 cm und die Körperhöhe h = 15 cm. Berechne die Seitenhöhe h_s (in cm).
Erklärung: h_s² = h² + (a/2)² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289, also h_s = 17 cm.
Eine gerade quadratische Pyramide hat die Grundkante a = 14 cm und die Seitenhöhe h_s = 25 cm. Wie hoch ist die Pyramide (Körperhöhe h in cm)?
Erklärung: Umgestellt: h² = h_s² − (a/2)² = 25² − 7² = 625 − 49 = 576, also h = 24 cm.
Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante a = 10 cm und die Seitenhöhe h_s = 13 cm. Wie groß ist der Mantel M?
Erklärung: Vier Dreiecke mit je ½ · 10 · 13 = 65 cm²: M = 4 · 65 = 260 cm². 65 cm² ist nur ein Dreieck, 360 cm² wäre die Oberfläche (mit der Grundfläche 100 cm²).
Eine quadratische Pyramide hat a = 6 cm und h_s = 5 cm. Welche Rechnung liefert die Oberfläche O?
Erklärung: Oberfläche = Grundfläche + Mantel = 6² + 4 Dreiecke mit je ½ · 6 · 5. Ohne 6² fehlt der Boden (das ist nur der Mantel), mit nur einem Dreieck fehlen drei Seitenflächen.
Eine quadratische Pyramide hat a = 8 cm und h_s = 5 cm. Ihre Oberfläche beträgt 80 cm².
Erklärung: 80 cm² sind nur die vier Seitenflächen (4 · ½ · 8 · 5). Zur Oberfläche gehört auch die Grundfläche: 64 + 80 = 144 cm².
Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante a = 9 cm und die Seitenhöhe h_s = 15 cm. Berechne den Mantel M (in cm²).
Erklärung: M = 4 · ½ · a · h_s = 2 · 9 · 15 = 270 cm².
Ein pyramidenförmiges Dach hat die Grundkante a = 12 m und ist 8 m hoch. Wie groß ist die Dachfläche (in m²)?
Erklärung: Die Dachfläche ist der Mantel. Erst die Seitenhöhe: h_s = √(8² + 6²) = 10 m. Dann M = 2 · 12 · 10 = 240 m².
Ein Pyramidenmodell aus Pappe soll eine quadratische Grundfläche mit a = 16 cm und die Körperhöhe h = 15 cm haben. Skizziere das Netz mit den Maßen, berechne die Seitenhöhe und die Pappe, die das ganze Modell braucht (Oberfläche).
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: h_s = 17 cm, Mantel 544 cm², Oberfläche 800 cm² (Grundfläche 256 cm² dazu).