Netz und Oberfläche

Net and Surface Area

Mathematik Klasse 10 16 Aufgaben
GeometrieRaumgeometriePyramideKörpernetzOberflächeSatz des Pythagoras

Das Netz einer geraden quadratischen Pyramide besteht aus einem Quadrat und vier gleichschenkligen Dreiecken. Die Höhe eines Dreiecks ist die Seitenhöhe h_s; sie folgt aus der Körperhöhe und der halben Grundkante mit dem Satz des Pythagoras. Mantel M = 4 · ½ · a · h_s, Oberfläche O = a² + M. Räumt aus, die Seitenhöhe sei die Körperhöhe, und aus, die Grundfläche zum Mantel zu zählen. Bereitet den Kegelmantel und Oberflächenaufgaben vor.

Das Netz

Schneidest du eine Pyramide an den Seitenkanten auf und klappst alles in die Ebene, entsteht das Netz: ein Quadrat als Grundfläche und daran vier gleichschenklige Dreiecke, eines an jeder Grundkante. Die Höhe eines dieser Dreiecke heißt Seitenhöhe h_s. Sie steht senkrecht auf der Grundkante und ist nicht die Körperhöhe. Bei einem Sechseck als Grundfläche wären es sechs Dreiecke: Die Zahl der Dreiecke ist die Zahl der Grundkanten.

Verändere a und h. Wie ändern sich die Dreiecke, und wie ändert sich h_s?

Die Seitenhöhe berechnen

Die Seitenhöhe liegt in einem rechtwinkligen Dreieck: Eine Kathete ist die Körperhöhe h, die andere die halbe Grundkante a/2, die Hypotenuse ist h_s.

Beispiel a = 6 cm, h = 4 cm: , also h_s = 5 cm. Die Seitenhöhe ist immer länger als die Körperhöhe. Wer statt a/2 die ganze Kante einsetzt, erhält rund 7,2 cm – falsch.

Verändere a und h. Ist h_s immer die längste Seite dieses Dreiecks?

Mantel und Oberfläche

Jedes der vier Dreiecke hat die Grundseite a und die Höhe h_s, also die Fläche ½ · a · h_s. Der Mantel besteht aus vier Dreiecken:

Beispiel: M = 2 · 6 · 5 = 60 cm² und O = 36 + 60 = 96 cm². Die Grundfläche zählt nur zur Oberfläche, nicht zum Mantel.

Netz einer quadratischen Pyramide (Kante 6, Seitenhöhe 5) a h_s
Netz der Pyramide mit a = 6 cm und h_s = 5 cm: vier Dreiecke zu je 15 cm² und das Quadrat mit 36 cm².

Voraussetzungen (1)

Die Pyramide im Schrägbild
Klasse 10
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Das Netz einer Pyramide besteht aus einem Vieleck und 5 Dreiecken. Welche Form hat die Grundfläche der Pyramide?

  • ● Fünfeck
  • ○ Sechseck
  • ○ Dreieck
An jede Kante der Grundfläche schließt sich genau ein Dreieck an: 5 Dreiecke, also 5 Kanten, also ein Fünfeck. Ein Sechseck käme heraus, wenn man das Vieleck selbst als sechste Fläche mitzählt.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Dieses Netz lässt sich zu einer Pyramide zusammenfalten.

✓ Wahr
Ein Quadrat mit vier gleichschenkligen Dreiecken, die an den vier Seiten anschließen und sich beim Falten in einer Spitze treffen: das Netz einer quadratischen Pyramide.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Dieses Netz lässt sich zu einer Pyramide zusammenfalten.

✓ Falsch
Zwei Dreiecke und drei Rechtecke ergeben ein dreiseitiges Prisma. Bei einer Pyramide müssten alle Seitenflächen Dreiecke sein, die sich in einer Spitze treffen.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Die Pyramide hat die Grundkante a = 10 cm und die Körperhöhe h = 12 cm. Welche Rechnung liefert die Seitenhöhe h_s?

  • ● √(12² + 5²)
  • ○ √(12² + 10²)
  • ○ 12 + 5
h_s ist die Hypotenuse des Dreiecks aus h und der halben Grundkante a/2 = 5. Mit der ganzen Kante 10 rechnet man falsch, und 12 + 5 addiert nur die Längen.
Im Bild tippen #5 15s ▶ Testen

Tippe auf die Seitenhöhe der Pyramide (die Höhe einer Seitenfläche).

✓ Antwort: SN
Die Seitenhöhe geht von der Spitze S zur Mitte N einer Grundkante und steht senkrecht auf ihr: SN. SM ist die Körperhöhe, MN läuft in der Grundfläche.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Eine gerade Pyramide hat a = 10 cm und h = 12 cm. Ihre Seitenhöhe h_s beträgt 13 cm.

✓ Wahr
h_s ist die Hypotenuse mit den Katheten h = 12 und a/2 = 5: h_s² = 144 + 25 = 169, also h_s = 13 cm. Die Seitenhöhe ist länger als die Körperhöhe, hier 13 statt 12 cm.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante a = 10 cm und die Seitenhöhe h_s = 13 cm. Wie groß ist der Mantel M?

  • ○ 65 cm²
  • ● 260 cm²
  • ○ 360 cm²
Vier Dreiecke mit je ½ · 10 · 13 = 65 cm²: M = 4 · 65 = 260 cm². 65 cm² ist nur ein Dreieck, 360 cm² wäre die Oberfläche (mit der Grundfläche 100 cm²).
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Eine quadratische Pyramide hat a = 6 cm und h_s = 5 cm. Welche Rechnung liefert die Oberfläche O?

  • ● 6² + 4 · ½ · 6 · 5
  • ○ 4 · ½ · 6 · 5
  • ○ 6² + ½ · 6 · 5
Oberfläche = Grundfläche + Mantel = 6² + 4 Dreiecke mit je ½ · 6 · 5. Ohne 6² fehlt der Boden (das ist nur der Mantel), mit nur einem Dreieck fehlen drei Seitenflächen.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Eine quadratische Pyramide hat a = 8 cm und h_s = 5 cm. Ihre Oberfläche beträgt 80 cm².

✓ Falsch
80 cm² sind nur die vier Seitenflächen (4 · ½ · 8 · 5). Zur Oberfläche gehört auch die Grundfläche: 64 + 80 = 144 cm².
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Wie viele Dreiecke hat das Netz einer Pyramide mit siebeneckiger Grundfläche?

✓ Antwort: 7
Jede der 7 Grundkanten trägt ein Dreieck: 7 Dreiecke.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Eine gerade quadratische Pyramide hat die Grundkante a = 16 cm und die Körperhöhe h = 15 cm. Berechne die Seitenhöhe h_s (in cm).

✓ Antwort: 17
h_s² = h² + (a/2)² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289, also h_s = 17 cm.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante a = 9 cm und die Seitenhöhe h_s = 15 cm. Berechne den Mantel M (in cm²).

✓ Antwort: 270
M = 4 · ½ · a · h_s = 2 · 9 · 15 = 270 cm².
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Das Netz einer Pyramide besteht aus 10 Flächen. Wie viele Ecken hat ihre Grundfläche?

✓ Antwort: 9
Eine der 10 Flächen ist die Grundfläche, die übrigen 9 sind Dreiecke, eines je Grundkante. Also hat die Grundfläche 9 Kanten und 9 Ecken.
Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Eine gerade quadratische Pyramide hat die Grundkante a = 14 cm und die Seitenhöhe h_s = 25 cm. Wie hoch ist die Pyramide (Körperhöhe h in cm)?

✓ Antwort: 24
Umgestellt: h² = h_s² − (a/2)² = 25² − 7² = 625 − 49 = 576, also h = 24 cm.
Zahleneingabe #3 60s ▶ Testen

Ein pyramidenförmiges Dach hat die Grundkante a = 12 m und ist 8 m hoch. Wie groß ist die Dachfläche (in m²)?

✓ Antwort: 240
Die Dachfläche ist der Mantel. Erst die Seitenhöhe: h_s = √(8² + 6²) = 10 m. Dann M = 2 · 12 · 10 = 240 m².
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Ein Pyramidenmodell aus Pappe soll eine quadratische Grundfläche mit a = 16 cm und die Körperhöhe h = 15 cm haben. Skizziere das Netz mit den Maßen, berechne die Seitenhöhe und die Pappe, die das ganze Modell braucht (Oberfläche). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Netz: Quadrat 16 cm × 16 cm mit vier gleichschenkligen Dreiecken der Grundseite 16 cm. h_s = √(15² + 8²) = √289 = 17 cm. Mantel M = 4 · ½ · 16 · 17 = 544 cm². Oberfläche O = 16² + 544 = 256 + 544 = 800 cm².
h_s = 17 cm, Mantel 544 cm², Oberfläche 800 cm² (Grundfläche 256 cm² dazu).