Das Volumen der Pyramide
Ein Würfel mit der Kante 6 cm wird in drei gleiche Pyramiden zerlegt (gemeinsame Spitze in einer Ecke). Wie groß ist das Volumen einer Pyramide?
Erklärung: Der Würfel hat V = 6³ = 216 cm³. Drei gleiche Pyramiden teilen ihn: 216 : 3 = 72 cm³. 36 cm³ wäre 6² und damit nur die Grundfläche ohne die Höhe, 108 cm³ die Hälfte des Würfels.
Ein Würfel mit der Kante 6 cm besteht aus vier Pyramiden mit der Grundfläche 36 cm² und der Höhe 6 cm.
Erklärung: Solche Pyramiden mit gemeinsamer Spitze in einer Ecke gibt es nur drei: Die drei Würfelflächen, die die Spitze nicht berührt, sind ihre Grundflächen. Jede Pyramide hat V = 216 : 3 = 72 cm³; vier davon wären 288 cm³, mehr als der ganze Würfel.
Jede der drei Pyramiden im Würfel mit der Kante 8 cm hat eine Würfelfläche als Grundfläche und die gegenüberliegende Ecke als Spitze. Wie hoch ist eine Pyramide?
Erklärung: Die Spitze liegt in der Ecke, die der Grundfläche gegenüberliegt; ihr Abstand von der Grundfläche ist eine ganze Würfelkante: h = 8 cm. 4 cm wäre die halbe Kante, 11,3 cm die Flächendiagonale 8 · √2.
Ein Würfel mit der Kante 9 cm besteht aus drei gleichen Pyramiden. Wie groß ist das Volumen einer Pyramide (in cm³)?
Erklärung: V(Würfel) = 9³ = 729 cm³, eine Pyramide ist ein Drittel: 729 : 3 = 243 cm³.
Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante a = 5 cm und die Höhe h = 5 cm; sie ist ein Drittel eines Würfels. Wie groß ist ihr Volumen (in cm³, auf 0,1 genau)?
Erklärung: Würfel: 5³ = 125 cm³. Ein Drittel: 125 : 3 = 41,666… ≈ 41,7 cm³.
Eine Pyramide hat die Grundfläche 36 cm² und die Höhe 12 cm. Wie groß ist die Schnittfläche in halber Höhe (6 cm über der Grundfläche)?
Erklärung: In halber Höhe sind alle Längen halbiert (Faktor k = ½), also die Fläche mit k² = ¼ multipliziert: 36 : 4 = 9 cm². 18 cm² rechnet linear (die Hälfte), 12 cm² wäre ein Drittel.
Zwei Pyramiden haben die Höhe 12 cm und die abgebildeten Grundflächen (beide 36 cm²). In 3 cm Abstand von der Spitze sind ihre Schnittflächen gleich groß.
Erklärung: In 3 cm Abstand von der Spitze ist k = 3/12 = ¼ die Verkleinerung der Längen und damit 1/16 die der Fläche: 36 : 16 = 2,25 cm² bei beiden, egal ob Quadrat oder Rechteck.
Eine Pyramide hat die Grundfläche 48 cm². In halber Höhe beträgt ihre Schnittfläche 12 cm².
Erklärung: Halbe Höhe heißt: alle Längen halbiert, also die Fläche geviertelt: 48 : 4 = 12 cm². Die Hälfte (24 cm²) wäre der typische Fehler.
Eine Pyramide hat die Grundfläche 45 cm² und die Höhe 15 cm. Wie groß ist die Schnittfläche in 5 cm Abstand von der Spitze (in cm²)?
Erklärung: Der Abstand 5 cm ist ein Drittel der Höhe: k = ⅓. Die Fläche wird mit k² = 1/9 multipliziert: 45 : 9 = 5 cm².
Eine Pyramide hat die Grundfläche 100 cm² und die Höhe 20 cm. In welchem Abstand von der Spitze beträgt die Schnittfläche 25 cm² (in cm)?
Erklärung: 25 : 100 = ¼ = k², also k = ½. Der Abstand von der Spitze ist die Hälfte der Höhe: 10 cm.
Welche Rechnung liefert das Volumen dieser Pyramide?
Erklärung: V = ⅓ · G · h mit G = a² = 10² und der Körperhöhe h = 12. Die Seitenhöhe 13 gehört nicht in die Volumenformel, und ohne das Drittel käme das Prisma heraus.
Für eine Pyramide mit der Grundfläche G = 24 cm² und der Höhe h = 9 cm gilt V = ½ · 24 · 9 = 108 cm³.
Erklärung: Beim Dreieck steht ein Halb in der Flächenformel, bei der Pyramide ein Drittel: V = ⅓ · 24 · 9 = 72 cm³.
Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante a = 9 cm und die Höhe h = 10 cm. Berechne das Volumen (in cm³).
Erklärung: V = ⅓ · G · h = ⅓ · 81 · 10 = 270 cm³.
Die Grundfläche einer Pyramide ist ein Rechteck mit den Seiten 8 cm und 5 cm, die Körperhöhe ist 9 cm. Berechne das Volumen (in cm³).
Erklärung: G = 8 · 5 = 40 cm², V = ⅓ · 40 · 9 = 120 cm³.
Die Cheops-Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Kante 230 m und war ursprünglich rund 147 m hoch. Wie groß ist ihr Volumen (in m³)?
Erklärung: G = 230² = 52 900 m², V = ⅓ · 52 900 · 147 = 52 900 · 49 = 2 592 100 m³.
Eine Pyramide hat das Volumen 96 cm³ und die Grundfläche 36 cm². Wie hoch ist sie (in cm)?
Erklärung: 96 = ⅓ · 36 · h = 12 · h, also h = 96 : 12 = 8 cm.
Eine gerade quadratische Pyramide hat die Grundkante a = 10 cm und die Seitenhöhe h_s = 13 cm. Berechne die Körperhöhe und das Volumen und vergleiche mit dem Prisma über derselben Grundfläche mit derselben Höhe.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: h = 12 cm, V = ⅓ · 100 · 12 = 400 cm³, ein Drittel des Prismas (1200 cm³).
Ein Prisma hat die Grundfläche G = 12 cm² und die Höhe h = 5 cm. Berechne sein Volumen (in cm³).
Das ist die Pyramide. Ein Prisma ist G · h.
V = G · h = 12 · 5 = 60 cm³.
Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit a = 6 cm und die Höhe h = 5 cm. Berechne ihr Volumen (in cm³).
Das ist ein Prisma. Eine Pyramide hat ein Drittel davon: 1/3 · G · h.
G = 6 · 6 = 36 cm². V = 1/3 · G · h = 1/3 · 36 · 5 = 60 cm³.
Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit a = 3 cm und die Höhe h = 8 cm. Berechne ihr Volumen (in cm³).
Das ist ein Prisma. Eine Pyramide hat ein Drittel davon: 1/3 · G · h.
G = 3 · 3 = 9 cm². V = 1/3 · G · h = 1/3 · 9 · 8 = 24 cm³.
Eine Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche von 4 cm mal 9 cm und die Höhe h = 7 cm. Berechne ihr Volumen (in cm³).
Das ist ein Prisma. Eine Pyramide hat ein Drittel davon: 1/3 · G · h.
G = 4 · 9 = 36 cm². V = 1/3 · G · h = 1/3 · 36 · 7 = 84 cm³.
Eine Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche von 5 cm mal 6 cm und die Höhe h = 4 cm. Berechne ihr Volumen (in cm³).
Das ist ein Prisma. Eine Pyramide hat ein Drittel davon: 1/3 · G · h.
G = 5 · 6 = 30 cm². V = 1/3 · G · h = 1/3 · 30 · 4 = 40 cm³.
Eine Pyramide hat G = 20 cm² und h = 9 cm. Lea rechnet: V = 20 · 9 = 180 cm³. Stimmt das?
Nein: 20 · 9 ist das Prisma. Die Pyramide hat ein Drittel: V = 1/3 · 180 = 60 cm³.
Eine Pyramide hat G = 15 cm² und h = 6 cm. Tim rechnet: V = 15 · 6 = 90 cm³. Stimmt das?
Nein: 15 · 6 ist das Prisma. Die Pyramide hat ein Drittel: V = 1/3 · 90 = 30 cm³.
Ein Würfel wird in gleich große Pyramiden zerlegt, die alle eine Würfelfläche als Grundfläche und die Würfelkante als Höhe haben. Sind es drei Pyramiden?
Ja: Drei solche Pyramiden füllen den Würfel. Darum ist eine davon 1/3 · G · h.
Ein Würfel mit der Kante 6 cm wird in drei gleiche Pyramiden zerlegt. Hat jede das Volumen 72 cm³?
Ja: Der Würfel hat 6 · 6 · 6 = 216 cm³, ein Drittel davon ist 72 cm³ = 1/3 · 36 · 6.
Eine Pyramide hat das Volumen V = 48 cm³ und die Grundfläche G = 16 cm². Wie hoch ist sie (in cm)?
Das Drittel fehlt: h = 3 · V : G.
V = 1/3 · G · h, also h = 3 · V : G = 3 · 48 : 16 = 9 cm.
Eine Pyramide hat das Volumen V = 60 cm³ und die Grundfläche G = 12 cm². Wie hoch ist sie (in cm)?
Das Drittel fehlt: h = 3 · V : G.
V = 1/3 · G · h, also h = 3 · V : G = 3 · 60 : 12 = 15 cm.
Eine Pyramide hat G = 12 cm² und h = 5 cm. Ist V = 20 cm³?
Ja: 1/3 · 12 · 5 = 20 cm³.
Eine Pyramide hat G = 18 cm² und h = 4 cm. Ist V = 24 cm³?
Ja: 1/3 · 18 · 4 = 24 cm³.