Ortslinien und Abstandsprobleme
Ein Hund ist an einer 3 m langen Leine im Punkt M befestigt und spannt die Leine straff. Auf welcher Linie kann er sich bewegen?
ErklĂ€rung: Straff gespannt heiĂt: Der Abstand zu M ist genau 3 m. Alle Punkte mit diesem Abstand bilden die Kreislinie. Die KreisflĂ€che gehört zu âhöchstens 3 mâ (Leine locker).
Alle Punkte, die höchstens 3 cm von M entfernt sind, liegen auf dem Kreis um M mit Radius 3 cm.
ErklĂ€rung: Auf dem Kreis liegen nur die Punkte mit Abstand genau 3 cm. âHöchstensâ schlieĂt auch die Punkte im Inneren ein â das ist die KreisflĂ€che.
Alle Punkte mit dem Abstand 4,5 cm von M bilden einen Kreis. Wie groĂ ist sein Durchmesser (in cm)?
ErklĂ€rung: Der Abstand 4,5 cm ist der Radius, der Durchmesser ist doppelt so groĂ: 9 cm.
Mâ und Mâ sind 8 cm voneinander entfernt. Wie viele Punkte sind von Mâ genau 5 cm und von Mâ genau 5 cm entfernt?
ErklĂ€rung: Die Punkte liegen auf dem Kreis um Mâ und auf dem Kreis um Mâ (je r = 5 cm). Wegen 5 + 5 = 10 > 8 und 5 > 4 = 8 : 2 schneiden sich die Kreise in zwei Punkten â links und rechts von MâMâ (auf der Mittelsenkrechten).
Welche Ortslinie bilden alle Punkte mit dem Abstand 2 cm von der Geraden g?
ErklÀrung: Auf jeder Seite von g gibt es eine Gerade im Abstand 2 cm, also zwei Parallelen. Nur eine zu zeichnen vergisst die andere Seite; ein Kreis liefert den Abstand zu einem Punkt, nicht zu einer Geraden.
Alle Punkte mit dem Abstand 3 cm von g liegen auf zwei Geraden, die 6 cm voneinander entfernt sind.
ErklÀrung: Je eine Parallele auf jeder Seite von g, jeweils 3 cm entfernt: Zwischen den beiden Parallelen liegen 3 cm + 3 cm = 6 cm.
Zwei Parallelen liegen im Abstand 3,5 cm von der Geraden g, eine auf jeder Seite. Wie weit sind sie voneinander entfernt (in cm)?
ErklÀrung: 3,5 cm + 3,5 cm = 7 cm.
Eine StraĂe ist 6 m breit. Auf jeder Seite soll ein Zaun im Abstand 4 m vom StraĂenrand verlaufen. Wie weit sind die beiden ZĂ€une voneinander entfernt (in m)?
ErklĂ€rung: Die ZĂ€une sind die Parallelen zu den beiden StraĂenrĂ€ndern: 4 m + 6 m + 4 m = 14 m.
Eine Bushaltestelle soll von den Orten A und B gleich weit entfernt liegen. Auf welcher Linie liegen alle möglichen Haltestellen?
ErklÀrung: Punkte mit gleichem Abstand von A und B bilden die Mittelsenkrechte von AB. Die Gerade AB enthÀlt Punkte mit sehr verschiedenen AbstÀnden, der Kreis um die Mitte enthÀlt nur zwei Punkte der Strecke.
Der Mittelpunkt M der Strecke AB ist der einzige Punkt, der von A und B gleich weit entfernt ist.
ErklĂ€rung: Alle Punkte der Mittelsenkrechten von AB sind von A und B gleich weit entfernt â eine ganze Gerade, nicht nur M.
Alle Punkte, die von A und B gleich weit entfernt sind, bilden die ___ von AB.
ErklÀrung: Gleicher Abstand von A und B beschreibt genau die Mittelsenkrechte der Strecke AB.
A(1|1) und B(1|7) liegen senkrecht ĂŒbereinander. Alle Punkte, die von A und B gleich weit entfernt sind, liegen auf einer waagerechten Geraden y = b. Welche Zahl ist b?
ErklÀrung: Die Mittelsenkrechte von AB geht durch die Mitte (1|4) und steht senkrecht auf AB, ist also waagerecht: y = 4.
Ein Brunnen soll von den drei Dörfern A, B und C gleich weit entfernt sein. Die Dörfer bilden ein spitzwinkliges Dreieck. Wie findest du seinen Ort?
ErklĂ€rung: Gleich weit von A und B: Mittelsenkrechte von AB; gleich weit von B und C: Mittelsenkrechte von BC. Der Schnittpunkt erfĂŒllt beides. Die Mitte der lĂ€ngsten Seite ist nur von zwei Dörfern gleich weit entfernt; die Winkelhalbierenden liefern den gleichen Abstand zu den Seiten, nicht zu den Ecken.
Liegt der Brunnen von den Dörfern A, B und C gleich weit entfernt, brauchen die Bewohner zu Fuà von jedem Dorf gleich lange.
ErklĂ€rung: Gleich weit heiĂt hier: gleich lange Luftlinie. Die Wege verlaufen um HĂŒgel und Seen und sind verschieden lang â das ist eine Grenze des Modells.
Wie viele Mittelsenkrechten brauchst du mindestens, um den Punkt zu finden, der von drei Orten gleich weit entfernt ist?
ErklÀrung: Zwei Mittelsenkrechte (etwa von AB und BC) schneiden sich in genau einem Punkt; die dritte geht ebenfalls durch ihn, ist aber nicht nötig.
Beim abgebildeten stumpfwinkligen Dreieck liegt der Punkt, der von A, B und C gleich weit entfernt ist, auĂerhalb des Dreiecks.
ErklĂ€rung: Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auĂerhalb, hier unterhalb der Seite AB. Nur bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt er innen, bei einem rechtwinkligen in der Mitte der lĂ€ngsten Seite.
Ein Hubschrauber-StĂŒtzpunkt soll von den Orten A, B und C gleich weit entfernt liegen. Die Konstruktion zeigt 12 km bis A und 12 km bis B. Wie weit ist er in diesem Modell von C entfernt (in km)?
ErklĂ€rung: Der Punkt liegt auf beiden Mittelsenkrechten, also sind alle drei AbstĂ€nde gleich: 12 km. Im Modell zĂ€hlt die Luftlinie â die Flugzeit kann trotzdem durch Wind oder GelĂ€nde abweichen.
Drei Orte liegen in einem Koordinatensystem (1 Einheit = 1 km): A(0|0), B(8|0) und C(0|6). Eine Rettungsstation soll von allen drei Orten gleich weit entfernt liegen. Konstruiere oder berechne den Punkt O mit Hilfe der Mittelsenkrechten von AB und AC, gib seine Koordinaten an und miss die drei Entfernungen. Nenne eine Grenze des Modells.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklÀrung: O(4|3) liegt auf beiden Mittelsenkrechten, daher OA = OB = OC = 5 km. (Das Dreieck ist rechtwinklig; deshalb liegt O in der Mitte der Seite BC.)