Punktsymmetrie
Der Punkt P wird am Zentrum Z gespiegelt. Welcher der Punkte Râ, Râ, Râ ist der Spiegelpunkt Pâ˛?
Erklärung: Bei der Punktspiegelung liegt PⲠauf der Geraden durch P und Z, auf der anderen Seite von Z. Das trifft nur auf Râ zu. Râ liegt auf gleicher HĂśhe wie P (Spiegelung an einer senkrechten Achse), Râ ist nur um 90° gedreht.
Der Punkt P(3|2) wird am Ursprung O(0|0) gespiegelt. Welche Koordinaten hat P�
Erklärung: Punktspiegelung am Ursprung ändert beide Vorzeichen: Pâ˛(â3|â2). (â3|2) entstĂźnde bei Spiegelung an der y-Achse, (3|â2) bei Spiegelung an der x-Achse.
Bei einer Punktspiegelung am Zentrum Z liegen P, Z und PⲠauf einer Geraden.
Erklärung: PⲠliegt auf der Geraden PZ, auf der anderen Seite von Z â Z ist die Mitte von PPâ˛.
Der Punkt Q(â4|1) wird am Ursprung gespiegelt. Welche y-Koordinate hat Qâ˛?
Erklärung: Beide Koordinaten wechseln das Vorzeichen: Qâ˛(4|â1), also y = â1.
Der Punkt P(6|â2) wird am Zentrum Z(2|1) gespiegelt. Welche x-Koordinate hat Pâ˛?
Erklärung: Z ist die Mitte von PPâ˛: (6 + xâ˛)/2 = 2, also xⲠ= 4 â 6 = â2. (FĂźr y: (â2 + yâ˛)/2 = 1, yⲠ= 4; Pâ˛(â2|4).)
P(1|1) und Pâ˛(7|5) sind Spiegelpunkte bei einer Punktspiegelung. Wo liegt das Zentrum Z?
Erklärung: Z ist die Mitte von PPâ˛: ((1 + 7)/2 | (1 + 5)/2) = (4|3). (6|4) wäre der Unterschied der Koordinaten, (3,5|2,5) die Hälfte der Koordinaten von Pâ˛.
Tippe auf das Symmetriezentrum des Parallelogramms.
Erklärung: Das Zentrum ist die Mitte jeder Strecke zwischen Punkt und Bildpunkt, insbesondere zwischen gegenßberliegenden Ecken: der Schnittpunkt der Diagonalen. Die Mitte einer Seite ist nur die Mitte dieser Seite.
P(2|2) und Pâ˛(6|2) sind Spiegelpunkte bei einer Punktspiegelung. Das Zentrum kĂśnnte der Punkt Z(4|5) sein.
Erklärung: Das Zentrum ist die Mitte von PPâ˛: (4|2). Z(4|5) liegt zwar auf der Mittelsenkrechten von PPⲠ(das wäre bei einer Achsenspiegelung die Achse), ist aber nicht die Mitte.
P(â3|5) und Pâ˛(7|1) sind Spiegelpunkte bei einer Punktspiegelung. Welche x-Koordinate hat das Zentrum Z?
Erklärung: Z ist die Mitte von PPâ˛: (â3 + 7)/2 = 2.
ABCD ist ein Parallelogramm mit A(0|0), B(6|1) und C(8|5). Seine Diagonalen treffen sich im Zentrum Z. Welche y-Koordinate hat D?
Erklärung: Z ist die Mitte von AC: (4|2,5). D ist der Spiegelpunkt von B an Z: y_D = 2 ¡ 2,5 â 1 = 4 (und x_D = 2 ¡ 4 â 6 = 2), also D(2|4).
Welches Viereck ist punktsymmetrisch, aber nicht achsensymmetrisch?
Erklärung: Das Parallelogramm fällt bei einer halben Drehung auf sich, hat aber keine Achse. Das Rechteck ist beides. Der Drachen hat eine Achse, aber kein Zentrum.
Ein gleichseitiges Dreieck ist punktsymmetrisch.
Erklärung: Es hat drei Achsen, aber nach einer halben Drehung steht die Spitze nach unten â es fällt nicht auf sich. Es gibt kein Zentrum.
Um wie viel Grad muss man eine punktsymmetrische Figur (kleinster positiver Winkel) um ihr Zentrum drehen, damit sie auf sich fällt?
Erklärung: Die Punktspiegelung ist eine halbe Drehung um Z, also 180°.
Wie viele der Blockbuchstaben A, F, H, N, S, T, Z sind punktsymmetrisch?
Erklärung: H, N, S und Z sehen nach einer halben Drehung gleich aus. A, F und T nicht (A und T stehen dann auf dem Kopf). Zusammen: 4.
Das Viereck ABCD hat die Ecken A(0|0), B(6|1), C(8|5) und D(2|4). Zeichne es in ein Koordinatensystem (1 Einheit = 1 cm). Zeige, dass es punktsymmetrisch ist, und gib das Zentrum an. Prßfe dann mit dem Lineal (Seitenlängen AB und AD), ob die Diagonale AC eine Symmetrieachse sein kann.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: ABCD ist ein Parallelogramm (die Diagonalen halbieren sich in Z(4|2,5)) und damit punktsymmetrisch. Weil AB â AD ist, spiegelt AC den Punkt B nicht auf D â keine Achse.