Punktsymmetrie

Point symmetry

Mathematik Klasse 7 15 Aufgaben
GeometrieSymmetriePunktsymmetrie

Bei der Punktspiegelung an einem Zentrum Z liegt der Spiegelpunkt P′ auf der Geraden PZ, auf der anderen Seite von Z und gleich weit von Z entfernt; Z ist die Mitte der Strecke PP′. Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn diese Spiegelung (eine Drehung um 180°) sie auf sich abbildet. Räumt die Verwechslung mit der Achsenspiegelung aus („gleiche Höhe“, „zwei gleiche Hälften“) und zeigt am Parallelogramm, dass Punktsymmetrie und Achsensymmetrie verschiedene Eigenschaften sind. Begründet, wie man das Zentrum konstruiert, und bereitet das Ordnen der Vierecke und die Kongruenzabbildungen vor.

Spiegeln an einem Punkt

Bei der Punktspiegelung gibt es statt einer Achse einen Punkt, das Zentrum Z. Der Spiegelpunkt P′ von P liegt auf der Geraden durch P und Z, auf der anderen Seite von Z, und hat denselben Abstand zu Z: ZP′ = ZP. Das Zentrum ist also die Mitte der Strecke PP′.

Das Bild ist um 180° um Z gedreht, wie der Zeiger einer Uhr nach einer halben Runde. Das unterscheidet die Punktspiegelung von der Achsenspiegelung: Dort wechselt P nur die Seite der Achse, hier dreht sich alles um Z. Viele Spielkarten und ein Windrad mit zwei Flßgeln sehen nach einer halben Drehung genauso aus.

Drehe P mit dem Regler um Z. Wo liegt P′ immer, und wie groß sind die beiden Abstände?

Punktsymmetrische Figuren

Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn die Spiegelung an einem Zentrum Z sie auf sich abbildet. Nach einer halben Drehung um Z sieht sie genauso aus. FĂźr jeden Punkt der Figur liegt Z dann in der Mitte zwischen ihm und seinem Bildpunkt, zum Beispiel zwischen gegenĂźberliegenden Ecken.

Ein Parallelogramm, das weder Rechteck noch Raute ist, ist punktsymmetrisch, hat aber keine Symmetrieachse. Sein Zentrum ist der Schnittpunkt der Diagonalen. Punkt- und Achsensymmetrie sind also verschiedene Eigenschaften. Das Rechteck hat beides. Ein gleichseitiges Dreieck hat nur Achsen: Nach einer halben Drehung steht seine Spitze unten.

Verschiebe die obere Kante. Das rote Spiegelbild liegt immer genau auf dem gelben Parallelogramm.

ErmĂśglicht (1)

Das Haus der Vierecke
Klasse 7
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Leicht
Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Der Punkt P wird am Zentrum Z gespiegelt. Welcher der Punkte R₁, R₂, R₃ ist der Spiegelpunkt P′?

  • ○ R₁
  • ○ R₂
  • ● R₃
Bei der Punktspiegelung liegt P′ auf der Geraden durch P und Z, auf der anderen Seite von Z. Das trifft nur auf R₃ zu. R₁ liegt auf gleicher Höhe wie P (Spiegelung an einer senkrechten Achse), R₂ ist nur um 90° gedreht.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Der Punkt P(3|2) wird am Ursprung O(0|0) gespiegelt. Welche Koordinaten hat P′?

  • ● (−3|−2)
  • ○ (−3|2)
  • ○ (3|−2)
Punktspiegelung am Ursprung ändert beide Vorzeichen: P′(−3|−2). (−3|2) entstünde bei Spiegelung an der y-Achse, (3|−2) bei Spiegelung an der x-Achse.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Bei einer Punktspiegelung am Zentrum Z liegen P, Z und P′ auf einer Geraden.

✓ Wahr
P′ liegt auf der Geraden PZ, auf der anderen Seite von Z – Z ist die Mitte von PP′.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

P(1|1) und P′(7|5) sind Spiegelpunkte bei einer Punktspiegelung. Wo liegt das Zentrum Z?

  • ● (4|3)
  • ○ (6|4)
  • ○ (3,5|2,5)
Z ist die Mitte von PP′: ((1 + 7)/2 | (1 + 5)/2) = (4|3). (6|4) wäre der Unterschied der Koordinaten, (3,5|2,5) die Hälfte der Koordinaten von P′.
Im Bild tippen #5 15s ▶ Testen

Tippe auf das Symmetriezentrum des Parallelogramms.

✓ Antwort: Z
Das Zentrum ist die Mitte jeder Strecke zwischen Punkt und Bildpunkt, insbesondere zwischen gegenĂźberliegenden Ecken: der Schnittpunkt der Diagonalen. Die Mitte einer Seite ist nur die Mitte dieser Seite.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

P(2|2) und P′(6|2) sind Spiegelpunkte bei einer Punktspiegelung. Das Zentrum könnte der Punkt Z(4|5) sein.

✓ Falsch
Das Zentrum ist die Mitte von PP′: (4|2). Z(4|5) liegt zwar auf der Mittelsenkrechten von PP′ (das wäre bei einer Achsenspiegelung die Achse), ist aber nicht die Mitte.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Welches Viereck ist punktsymmetrisch, aber nicht achsensymmetrisch?

  • ● Parallelogramm mit den Seiten 5 cm und 3 cm (Winkel 70°)
  • ○ Rechteck mit den Seiten 5 cm und 3 cm
  • ○ Drachen mit AB = AD = 5 cm und CB = CD = 3 cm
Das Parallelogramm fällt bei einer halben Drehung auf sich, hat aber keine Achse. Das Rechteck ist beides. Der Drachen hat eine Achse, aber kein Zentrum.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Ein gleichseitiges Dreieck ist punktsymmetrisch.

✓ Falsch
Es hat drei Achsen, aber nach einer halben Drehung steht die Spitze nach unten – es fällt nicht auf sich. Es gibt kein Zentrum.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Der Punkt Q(−4|1) wird am Ursprung gespiegelt. Welche y-Koordinate hat Q′?

✓ Antwort: -1
Beide Koordinaten wechseln das Vorzeichen: Q′(4|−1), also y = −1.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

P(−3|5) und P′(7|1) sind Spiegelpunkte bei einer Punktspiegelung. Welche x-Koordinate hat das Zentrum Z?

✓ Antwort: 2
Z ist die Mitte von PP′: (−3 + 7)/2 = 2.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Um wie viel Grad muss man eine punktsymmetrische Figur (kleinster positiver Winkel) um ihr Zentrum drehen, damit sie auf sich fällt?

✓ Antwort: 180
Die Punktspiegelung ist eine halbe Drehung um Z, also 180°.
Schwer
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Der Punkt P(6|−2) wird am Zentrum Z(2|1) gespiegelt. Welche x-Koordinate hat P′?

✓ Antwort: -2
Z ist die Mitte von PP′: (6 + x′)/2 = 2, also x′ = 4 − 6 = −2. (Für y: (−2 + y′)/2 = 1, y′ = 4; P′(−2|4).)
Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

ABCD ist ein Parallelogramm mit A(0|0), B(6|1) und C(8|5). Seine Diagonalen treffen sich im Zentrum Z. Welche y-Koordinate hat D?

✓ Antwort: 4
Z ist die Mitte von AC: (4|2,5). D ist der Spiegelpunkt von B an Z: y_D = 2 · 2,5 − 1 = 4 (und x_D = 2 · 4 − 6 = 2), also D(2|4).
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Wie viele der Blockbuchstaben A, F, H, N, S, T, Z sind punktsymmetrisch?

✓ Antwort: 4
H, N, S und Z sehen nach einer halben Drehung gleich aus. A, F und T nicht (A und T stehen dann auf dem Kopf). Zusammen: 4.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Das Viereck ABCD hat die Ecken A(0|0), B(6|1), C(8|5) und D(2|4). Zeichne es in ein Koordinatensystem (1 Einheit = 1 cm). Zeige, dass es punktsymmetrisch ist, und gib das Zentrum an. Prßfe dann mit dem Lineal (Seitenlängen AB und AD), ob die Diagonale AC eine Symmetrieachse sein kann. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Die Mitte von AC ist (4|2,5), die Mitte von BD ist ebenfalls ((6 + 2)/2 | (1 + 4)/2) = (4|2,5). Also ist Z(4|2,5) für beide Diagonalen die Mitte: A ↔ C und B ↔ D werden an Z gespiegelt, das Viereck ist punktsymmetrisch. Messung: AB ≈ 6,1 cm, AD ≈ 4,5 cm. Bei einer Spiegelung an AC müsste B auf D fallen, dann wäre AB = AD. Das ist nicht der Fall, AC ist keine Achse.
ABCD ist ein Parallelogramm (die Diagonalen halbieren sich in Z(4|2,5)) und damit punktsymmetrisch. Weil AB ≠ AD ist, spiegelt AC den Punkt B nicht auf D – keine Achse.