Primfaktorzerlegung
Im Faktorbaum von 84 sind einige Zahlen schon zerlegt. Welche Zahl im Bild muss noch weiter zerlegt werden?
Erklärung: 21 ist zusammengesetzt (21 = 3 · 7) und steht noch am Ende eines Astes. Die 4 ist schon in 2 · 2 zerlegt, die 2 ist eine Primzahl und bleibt stehen.
Der Faktorbaum von 90 im Bild ist fertig, denn 9 · 10 ergibt 90.
Erklärung: 9 und 10 sind keine Primzahlen: 9 = 3 · 3 und 10 = 2 · 5. Der Baum ist erst fertig, wenn am Ende jedes Astes eine Primzahl steht.
Zerlege 30 in Primfaktoren: 30 = 2 · 3 · ___
Erklärung: 30 = 2 · 15 = 2 · 3 · 5. Alle drei Faktoren sind Primzahlen.
Der Faktorbaum von 72 wird vollständig zerlegt. Wie viele Primzahlen stehen am Ende aller Äste zusammen?
Erklärung: 72 = 8 · 9 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Das sind drei Zweien und zwei Dreien, also 5 Primzahlen.
Das Bild zeigt den Faktorbaum von 200. Wie lautet die Primfaktorzerlegung in Potenzschreibweise?
Erklärung: Unten stehen drei Zweien und zwei Fünfen: 200 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 = 2³ · 5². Der Exponent zählt, wie oft der Faktor vorkommt. Bei 2² · 5³ sind die Exponenten vertauscht (= 500).
Es gilt 2³ · 3 = 24.
Erklärung: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8, und 8 · 3 = 24. Der Exponent 3 zählt die Faktoren 2, er bedeutet nicht 2 · 3 = 6.
Berechne 2³ · 3².
Erklärung: 2³ = 8 und 3² = 9, also 8 · 9 = 72. Nicht 2 · 3 · 3 · 2 = 36 rechnen: Der Exponent zählt die Faktoren.
Die Primfaktorzerlegung einer Zahl ist 2 · 3² · 7. Wie heißt die Zahl?
Erklärung: 3² = 9, 2 · 9 = 18, 18 · 7 = 126. Die Probe durch Ausmultiplizieren zeigt, welche Zahl zerlegt wurde.
Das Bild zeigt einen Faktorbaum von 72 mit 8 · 9. Jemand beginnt stattdessen mit 6 · 12 und zerlegt vollständig. Welche Primzahlen stehen unten?
Erklärung: Jede vollständige Zerlegung von 72 endet bei denselben Primzahlen: 6 · 12 = (2 · 3) · (2 · 2 · 3) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Ein anderer Anfang ändert nur den Baum, nicht die Primfaktoren.
Die Zerlegungen 2 · 3 · 5 und 5 · 3 · 2 sind zwei verschiedene Primfaktorzerlegungen von 30.
Erklärung: Es sind dieselben Primfaktoren, nur in anderer Reihenfolge, denn beim Malnehmen darf man vertauschen. Die Primfaktorzerlegung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig.
Wäre 1 eine Primzahl, gäbe es zu 6 mehrere Zerlegungen: 2 · 3 und 1 · 2 · 3 und 1 · 1 · 2 · 3.
Erklärung: Man könnte beliebig viele Einsen anhängen, ohne den Wert zu ändern. Damit die Zerlegung eindeutig bleibt, ist die 1 keine Primzahl und kommt in einer Zerlegung nicht vor.
Wer 84 = 7 · 12 zerlegt, erhält die Primfaktoren 7, 2, 2 und ___
Erklärung: 12 = 2 · 2 · 3. Es entstehen dieselben Primfaktoren wie bei 84 = 4 · 21 = 2 · 2 · 3 · 7.
Anna zerlegt 150 = 10 · 15, Ben zerlegt 150 = 6 · 25. Beide zerlegen vollständig. Wie viele Primzahlen stehen bei Anna am Ende aller Äste?
Erklärung: 150 = 10 · 15 = 2 · 5 · 3 · 5. Bei Ben ergibt 6 · 25 = (2 · 3) · (5 · 5) dieselben vier Primzahlen 2, 3, 5 und 5.
Die Zahl 4215 endet auf 5, und ihre Quersumme ist 12. Welche Primzahlen sind als Faktoren sofort zu erkennen?
Erklärung: Endziffer 5 heißt: durch 5 teilbar. Quersumme 12 heißt: durch 3 teilbar. Die 2 fehlt (4215 ist ungerade), und 10 ist keine Primzahl.
Die Zahl 4215 hat den Primfaktor 2.
Erklärung: 4215 endet auf 5 und ist ungerade, also nicht durch 2 teilbar. 4215 = 3 · 5 · 281.
630 = 2 · 3 · 3 · 5 · ___
Erklärung: 630 endet auf 0 (Faktoren 2 und 5), die Quersumme 9 gibt die Faktoren 3 und 3, und 630 : 90 = 7.
Zerlege 2340 in Primfaktoren. Wie viele Primfaktoren hat die Zerlegung, wenn jeder Faktor so oft gezählt wird, wie er vorkommt?
Erklärung: 2340 endet auf 0: 2340 = 10 · 234 = 2 · 5 · 234. 234 ist gerade: 234 = 2 · 117, und 117 hat die Quersumme 9: 117 = 3 · 39 = 3 · 3 · 13. Also 2340 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 13, das sind 6 Faktoren.
Zerlege 540 in Primfaktoren. Zeichne einen Faktorbaum, schreibe bei jedem Schritt auf, mit welcher Teilbarkeitsregel du den Faktor gefunden hast, gib das Ergebnis in Potenzschreibweise an und mache die Probe.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Endziffer 0 liefert 2 und 5, gerade Zahlen liefern weitere 2, die Quersumme 9 von 54 und 27 liefert die Dreien. Probe: 2² · 3³ · 5 = 4 · 27 · 5 = 540.