Primfaktorzerlegung

Prime factorisation

Mathematik Klasse 5 18 Aufgaben
ArithmetikPrimzahlenFaktorisieren

Jede Zahl größer als 1 lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben, und zwar auf genau eine Weise, bis auf die Reihenfolge: Der Abschnitt baut den Faktorbaum, schreibt das Ergebnis mit Potenzen (360 = 2³ · 3² · 5), zeigt an zwei Bäumen derselben Zahl die Eindeutigkeit und nutzt die Teilbarkeitsregeln, um erste Faktoren zu finden (Zazkis und Campbell 1996). Er räumt den zu früh beendeten Baum, „2³ = 6“, die Einsen als Faktoren und die Vorstellung aus, verschiedene Bäume ergäben verschiedene Zerlegungen. Er bereitet den Hauptnenner und die Untersuchung von Nennern auf endliche Dezimalbrüche vor.

Der Faktorbaum

Jede Zahl größer als 1 lässt sich in Primzahlen zerlegen. Dazu dient der Faktorbaum: Zerlege die Zahl in zwei Faktoren, dann jeden Faktor weiter, bis am Ende jedes Astes eine Primzahl steht. Bei 360 ist ein guter Anfang, dann folgen und . Unten stehen 2, 3, 2, 3, 2 und 5. Kurz schreibst du das mit Potenzen: . Der Exponent zählt, wie oft der Faktor vorkommt. Also ist 2³ gleich 2 · 2 · 2 = 8 und nicht 2 · 3.

Baumdiagramm, 3 Stufen, 6 Pfade: 36 → [6 → [2, 3], 6 → [2, 3]], 10 → [2, 5] 360 36 6 2 3 6 2 3 10 2 5
Am Ende jedes Astes steht eine Primzahl (grün): 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.

Eine Zerlegung, viele Wege

Für 60 kannst du mit 6 · 10 oder mit 4 · 15 beginnen. Die Bäume sehen verschieden aus, aber unten stehen dieselben Primzahlen: . Das gilt immer: Die Primfaktorzerlegung ist eindeutig, nur die Reihenfolge der Faktoren kann wechseln. Deshalb ist die 1 keine Primzahl. Sonst wären 6 = 2 · 3 und 6 = 1 · 2 · 3 zwei verschiedene Zerlegungen, und man könnte beliebig viele Einsen anhängen.

Wechsle zwischen den beiden Bäumen. Welche Zahlen bleiben unten gleich?

Teilbarkeitsregeln nutzen

Wer die Teilbarkeitsregeln kennt, findet erste Faktoren ohne Probieren. Bei 420 sagt die Endziffer 0: durch 10 teilbar, also mit . Die 42 ist gerade, also . Die 21 hat die Quersumme 3 und ist durch 3 teilbar: . Also gilt . Zur Probe multiplizierst du zurück: 4 · 3 · 5 · 7 = 420.

Baumdiagramm, 3 Stufen, 5 Pfade: 10 → [2, 5], 42 → [2, 21 → [3, 7]]Endziffer 0 gerade Quersumme 3 420 10 2 5 42 2 21 3 7
An den Ästen steht, welche Regel den Faktor verrät.

Voraussetzungen (1)

Primzahlen
Klasse 5
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Im Faktorbaum von 84 sind einige Zahlen schon zerlegt. Welche Zahl im Bild muss noch weiter zerlegt werden?

  • ● 21
  • ○ 4
  • ○ 2
21 ist zusammengesetzt (21 = 3 · 7) und steht noch am Ende eines Astes. Die 4 ist schon in 2 · 2 zerlegt, die 2 ist eine Primzahl und bleibt stehen.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Der Faktorbaum von 90 im Bild ist fertig, denn 9 · 10 ergibt 90.

✓ Falsch
9 und 10 sind keine Primzahlen: 9 = 3 · 3 und 10 = 2 · 5. Der Baum ist erst fertig, wenn am Ende jedes Astes eine Primzahl steht.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Das Bild zeigt den Faktorbaum von 200. Wie lautet die Primfaktorzerlegung in Potenzschreibweise?

  • ● 2³ · 5²
  • ○ 2² · 5³
  • ○ 2³ · 5³
Unten stehen drei Zweien und zwei Fünfen: 200 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 = 2³ · 5². Der Exponent zählt, wie oft der Faktor vorkommt. Bei 2² · 5³ sind die Exponenten vertauscht (= 500).
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Es gilt 2³ · 3 = 24.

✓ Wahr
2³ = 2 · 2 · 2 = 8, und 8 · 3 = 24. Der Exponent 3 zählt die Faktoren 2, er bedeutet nicht 2 · 3 = 6.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Das Bild zeigt einen Faktorbaum von 72 mit 8 · 9. Jemand beginnt stattdessen mit 6 · 12 und zerlegt vollständig. Welche Primzahlen stehen unten?

  • ● 2, 2, 2, 3, 3
  • ○ 2, 2, 3, 3
  • ○ 2, 2, 2, 2, 3, 3
Jede vollständige Zerlegung von 72 endet bei denselben Primzahlen: 6 · 12 = (2 · 3) · (2 · 2 · 3) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Ein anderer Anfang ändert nur den Baum, nicht die Primfaktoren.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Zerlegungen 2 · 3 · 5 und 5 · 3 · 2 sind zwei verschiedene Primfaktorzerlegungen von 30.

✓ Falsch
Es sind dieselben Primfaktoren, nur in anderer Reihenfolge, denn beim Malnehmen darf man vertauschen. Die Primfaktorzerlegung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Wäre 1 eine Primzahl, gäbe es zu 6 mehrere Zerlegungen: 2 · 3 und 1 · 2 · 3 und 1 · 1 · 2 · 3.

✓ Wahr
Man könnte beliebig viele Einsen anhängen, ohne den Wert zu ändern. Damit die Zerlegung eindeutig bleibt, ist die 1 keine Primzahl und kommt in einer Zerlegung nicht vor.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Die Zahl 4215 endet auf 5, und ihre Quersumme ist 12. Welche Primzahlen sind als Faktoren sofort zu erkennen?

  • ● 3 und 5
  • ○ 2 und 3
  • ○ 5 und 10
Endziffer 5 heißt: durch 5 teilbar. Quersumme 12 heißt: durch 3 teilbar. Die 2 fehlt (4215 ist ungerade), und 10 ist keine Primzahl.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Die Zahl 4215 hat den Primfaktor 2.

✓ Falsch
4215 endet auf 5 und ist ungerade, also nicht durch 2 teilbar. 4215 = 3 · 5 · 281.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Zerlege 30 in Primfaktoren: 30 = 2 · 3 · ___

✓ Antwort: 5
30 = 2 · 15 = 2 · 3 · 5. Alle drei Faktoren sind Primzahlen.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne 2³ · 3².

✓ Antwort: 72
2³ = 8 und 3² = 9, also 8 · 9 = 72. Nicht 2 · 3 · 3 · 2 = 36 rechnen: Der Exponent zählt die Faktoren.
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Wer 84 = 7 · 12 zerlegt, erhält die Primfaktoren 7, 2, 2 und ___

✓ Antwort: 3
12 = 2 · 2 · 3. Es entstehen dieselben Primfaktoren wie bei 84 = 4 · 21 = 2 · 2 · 3 · 7.
Lückentext #4 20s ▶ Testen

630 = 2 · 3 · 3 · 5 · ___

✓ Antwort: 7
630 endet auf 0 (Faktoren 2 und 5), die Quersumme 9 gibt die Faktoren 3 und 3, und 630 : 90 = 7.
Schwer
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Der Faktorbaum von 72 wird vollständig zerlegt. Wie viele Primzahlen stehen am Ende aller Äste zusammen?

✓ Antwort: 5
72 = 8 · 9 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Das sind drei Zweien und zwei Dreien, also 5 Primzahlen.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Primfaktorzerlegung einer Zahl ist 2 · 3² · 7. Wie heißt die Zahl?

✓ Antwort: 126
3² = 9, 2 · 9 = 18, 18 · 7 = 126. Die Probe durch Ausmultiplizieren zeigt, welche Zahl zerlegt wurde.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Anna zerlegt 150 = 10 · 15, Ben zerlegt 150 = 6 · 25. Beide zerlegen vollständig. Wie viele Primzahlen stehen bei Anna am Ende aller Äste?

✓ Antwort: 4
150 = 10 · 15 = 2 · 5 · 3 · 5. Bei Ben ergibt 6 · 25 = (2 · 3) · (5 · 5) dieselben vier Primzahlen 2, 3, 5 und 5.
Zahleneingabe #4 60s ▶ Testen

Zerlege 2340 in Primfaktoren. Wie viele Primfaktoren hat die Zerlegung, wenn jeder Faktor so oft gezählt wird, wie er vorkommt?

✓ Antwort: 6
2340 endet auf 0: 2340 = 10 · 234 = 2 · 5 · 234. 234 ist gerade: 234 = 2 · 117, und 117 hat die Quersumme 9: 117 = 3 · 39 = 3 · 3 · 13. Also 2340 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 13, das sind 6 Faktoren.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Zerlege 540 in Primfaktoren. Zeichne einen Faktorbaum, schreibe bei jedem Schritt auf, mit welcher Teilbarkeitsregel du den Faktor gefunden hast, gib das Ergebnis in Potenzschreibweise an und mache die Probe. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 540 endet auf 0: durch 10, also 540 = 10 · 54 = 2 · 5 · 54. 54 ist gerade: 54 = 2 · 27, und 27 hat die Quersumme 9, also 27 = 3 · 9 = 3 · 3 · 3. 540 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 = 2² · 3³ · 5. Probe: 4 · 27 · 5 = 108 · 5 = 540.
Endziffer 0 liefert 2 und 5, gerade Zahlen liefern weitere 2, die Quersumme 9 von 54 und 27 liefert die Dreien. Probe: 2² · 3³ · 5 = 4 · 27 · 5 = 540.