Primzahlen
Welche dieser Zahlen ist eine Primzahl?
ErklÀrung: 17 hat genau die Teiler 1 und 17, also ist sie eine Primzahl. 27 ist ungerade, aber 27 = 3 · 9, also zusammengesetzt. 1 hat nur einen Teiler und ist keine Primzahl.
Die Zahl 2 ist eine Primzahl.
ErklĂ€rung: Tâ = {1, 2} hat genau zwei Teiler. Die 2 ist die einzige gerade Primzahl, denn jede andere gerade Zahl hat zusĂ€tzlich den Teiler 2.
Die Zahl 1 ist eine Primzahl.
ErklĂ€rung: Tâ = {1} hat nur einen Teiler. Eine Primzahl braucht genau zwei verschiedene Teiler: 1 und sich selbst.
Das Bild zeigt 17 PlĂ€ttchen in Reihen zu je 4. Bei keiner ReihenlĂ€nge auĂer 1 und 17 gehen die PlĂ€ttchen ohne Rest auf.
ErklĂ€rung: Weil 17 eine Primzahl ist, gibt es nur die Rechtecke 1 · 17 und 17 · 1. Bei 4 bleibt ein PlĂ€ttchen ĂŒbrig (17 = 4 · 4 + 1), bei 2, 3, 5, 6, ⊠ebenfalls ein Rest.
Die Zahl 19 hat genau ___ Teiler.
ErklĂ€rung: Bei 19 PlĂ€ttchen gibt es nur das Rechteck aus einer Reihe. Die Teilermenge ist Tââ = {1, 19}, also hat 19 genau zwei Teiler und ist eine Primzahl.
Wie viele Primzahlen liegen zwischen 21 und 30 (einschlieĂlich 21 und 30)?
ErklĂ€rung: 21 = 3 · 7, 22 = 2 · 11, 24, 26, 28 und 30 sind gerade, 25 = 5 · 5, 27 = 3 · 9. Nur 23 und 29 haben keine Teiler auĂer 1 und sich selbst. Es sind 2 Primzahlen.
Welche dieser Zahlen ist keine Primzahl?
ErklĂ€rung: 51 = 3 · 17, denn die Quersumme 6 ist durch 3 teilbar. 53 und 59 haben keinen Teiler auĂer 1 und sich selbst. Zahlen, die unscheinbar aussehen, muss man auf Teiler prĂŒfen.
Die Zahl 91 ist eine Primzahl.
ErklÀrung: 91 = 7 · 13. Weil 91 weder gerade ist noch auf 5 endet und die Quersumme 10 nicht durch 3 teilbar ist, wirkt sie prim. Erst der Teiler 7 zeigt, dass sie zusammengesetzt ist.
Welche Zahl teilt 57 ohne Rest und zeigt damit, dass 57 keine Primzahl ist?
ErklÀrung: Die Quersumme 5 + 7 = 12 ist durch 3 teilbar, und es gilt 57 = 3 · 19. 57 : 5 = 11 Rest 2 und 57 : 7 = 8 Rest 1 gehen nicht auf.
ErgÀnze: 51 = 3 · ___
ErklÀrung: 51 : 3 = 17, denn 3 · 17 = 51. Die Zahl hat also mehr als zwei Teiler: 1, 3, 17 und 51.
Zwischen 90 und 100 liegt genau eine Primzahl. Wie heiĂt sie?
ErklĂ€rung: 91 = 7 · 13, 93 = 3 · 31, 95 = 5 · 19 und 99 = 9 · 11 sind zusammengesetzt, die geraden Zahlen haben den Teiler 2. Nur 97 hat keine Teiler auĂer 1 und 97.
Entscheide fĂŒr 77, 79 und 87, ob es Primzahlen sind. PrĂŒfe dazu die Teilbarkeit durch 2, 3, 5 und 7, schreibe bei zusammengesetzten Zahlen eine Malaufgabe auf und begrĂŒnde bei der Primzahl, warum nichts mehr geprĂŒft werden muss.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: 77 und 87 haben die Teiler 7 und 3. Bei 79 lĂ€sst jede PrĂŒfzahl 2, 3, 5 und 7 einen Rest, und zwei Teiler ab 11 hĂ€tten ein Produkt von mindestens 121, also ĂŒber 79. Jeder Teiler von 79 hĂ€tte deshalb einen Partner unter 11, und der wĂ€re schon durch 2, 3, 5 oder 7 geprĂŒft.
Im Bild sind alle Vielfachen von 2 und von 3 gestrichen. Welche Zahl wird als NĂ€chstes eingekreist?
ErklÀrung: Die nÀchste Zahl, die noch nicht gestrichen ist, ist 5. Sie wird eingekreist, und ihre Vielfachen 10, 15, 20, ⊠werden gestrichen. 4 ist schon als Vielfaches von 2 gestrichen, 7 kommt erst danach.
Beim Sieb des Eratosthenes wird auch die 2 selbst gestrichen, wenn man die Vielfachen von 2 streicht.
ErklĂ€rung: Die 2 ist eine Primzahl und bleibt stehen. Gestrichen werden erst 4, 6, 8, âŠ, also die Vielfachen, die gröĂer sind als die Zahl selbst.
Beim Sieb bis 100 streichst du die Vielfachen einiger Zahlen. Welche Auswahl reicht gerade aus?
ErklĂ€rung: Jede zusammengesetzte Zahl bis 100 hat einen Teiler aus 2, 3, 5 oder 7, denn 11 · 11 = 121 ist schon zu groĂ. Mit 2, 3 und 5 allein bliebe 49 = 7 · 7 stehen. Die 11 wird nicht mehr gebraucht, denn ihr erstes ungestrichenes Vielfaches wĂ€re 11 · 11 = 121.
Wie viele Primzahlen gibt es bis 100?
ErklÀrung: Nach dem Sieben mit 2, 3, 5 und 7 bleiben 25 Zahlen stehen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 und 97.
Wie viele Primzahlen liegen zwischen 1 und 50?
ErklĂ€rung: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 und 47 sind es, also 15. Beim Sieben bis 50 reichen die Streichzahlen 2, 3, 5 und 7, denn schon 11 · 11 = 121 ist gröĂer als 50.