Primzahlen

Prime numbers

Mathematik Klasse 5 17 Aufgaben

ArithmetikPrimzahlen

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler, 1 und sich selbst: Der Abschnitt zeigt das am Rechteck (13 Plättchen lassen sich nur in einer Reihe legen), grenzt zusammengesetzte Zahlen ab und findet alle Primzahlen bis 100 mit dem Sieb des Eratosthenes (Zazkis und Campbell 1996: Primzahlen und Zusammengesetzte als Teilerstruktur). Er räumt „1 ist prim“, „2 ist nicht prim“, „ungerade heißt prim“ und die Zahlen 51, 57, 91 aus, die prim aussehen. Er bereitet die Primfaktorzerlegung und später den Hauptnenner vor.

Nur ein Rechteck

13 Plättchen lassen sich nur auf eine Weise zu einem Rechteck legen: in einer Reihe zu 13. Jede andere Reihenzahl lässt Plättchen übrig. Die Zahl 13 hat genau zwei Teiler, $T_{13} = {1, 13}$ . Solche Zahlen heißen Primzahlen. Zahlen mit mehr als zwei Teilern heißen zusammengesetzt, zum Beispiel $12 = 3 \cdot 4$ und $35 = 5 \cdot 7$ .

Stelle Reihenzahlen von 2 bis 12 ein. Gibt es eine, bei der kein rotes Plättchen übrig bleibt?

Die 1 hat nur einen Teiler und ist keine Primzahl. Die 2 ist die einzige gerade Primzahl, denn jede andere gerade Zahl hat den Teiler 2. Aber ungerade heißt nicht prim: $9 = 3 \cdot 3$ und $15 = 3 \cdot 5$ . Primzahlen sind die Bausteine der Zahlen: Jede andere Zahl lässt sich aus ihnen zusammensetzen, wie du im nächsten Abschnitt siehst.

Das Sieb des Eratosthenes

Wie findest du alle Primzahlen bis 100? Schreibe die Zahlen von 1 bis 100 auf und streiche die 1. Kreise die 2 ein und streiche alle ihre Vielfachen. Die nächste Zahl, die nicht gestrichen ist, ist die 3: einkreisen, Vielfache streichen. So geht es mit 5 und 7 weiter. Mehr musst du nicht sieben: Wären beide Faktoren einer zusammengesetzten Zahl mindestens 11, wäre die Zahl mindestens $11 \cdot 11 = 121$ , also größer als 100. Jede zusammengesetzte Zahl bis 100 hat also einen Teiler aus 2, 3, 5 oder 7. Übrig bleiben die 25 Primzahlen bis 100. Es gibt unendlich viele Primzahlen, aber je größer die Zahlen, desto seltener trifft man im Schnitt auf eine.

Stelle die Schritte 0 bis 4 ein: Erst werden die Vielfachen von 2 gefärbt, dann die von 3, 5 und 7. Was bleibt am Ende ohne Farbe, und was wird grün?

Voraussetzungen (1)

Teiler und Vielfache

Klasse 5

›

Ermöglicht (3)

Primzahlen von 51 bis 100

Klasse 5

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche dieser Zahlen ist eine Primzahl?

● 17
○ 27
○ 1

17 hat genau die Teiler 1 und 17, also ist sie eine Primzahl. 27 ist ungerade, aber 27 = 3 · 9, also zusammengesetzt. 1 hat nur einen Teiler und ist keine Primzahl.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Zahl 2 ist eine Primzahl.

✓ Wahr

T₂ = {1, 2} hat genau zwei Teiler. Die 2 ist die einzige gerade Primzahl, denn jede andere gerade Zahl hat zusätzlich den Teiler 2.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Zahl 1 ist eine Primzahl.

✓ Falsch

T₁ = {1} hat nur einen Teiler. Eine Primzahl braucht genau zwei verschiedene Teiler: 1 und sich selbst.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Das Bild zeigt 17 Plättchen in Reihen zu je 4. Bei keiner Reihenlänge außer 1 und 17 gehen die Plättchen ohne Rest auf.

✓ Wahr

Weil 17 eine Primzahl ist, gibt es nur die Rechtecke 1 · 17 und 17 · 1. Bei 4 bleibt ein Plättchen übrig (17 = 4 · 4 + 1), bei 2, 3, 5, 6, … ebenfalls ein Rest.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche dieser Zahlen ist keine Primzahl?

● 51
○ 53
○ 59

51 = 3 · 17, denn die Quersumme 6 ist durch 3 teilbar. 53 und 59 haben keinen Teiler außer 1 und sich selbst. Zahlen, die unscheinbar aussehen, muss man auf Teiler prüfen.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Zahl 91 ist eine Primzahl.

✓ Falsch

91 = 7 · 13. Weil 91 weder gerade ist noch auf 5 endet und die Quersumme 10 nicht durch 3 teilbar ist, wirkt sie prim. Erst der Teiler 7 zeigt, dass sie zusammengesetzt ist.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Zahl teilt 57 ohne Rest und zeigt damit, dass 57 keine Primzahl ist?

● 3
○ 5
○ 7

Die Quersumme 5 + 7 = 12 ist durch 3 teilbar, und es gilt 57 = 3 · 19. 57 : 5 = 11 Rest 2 und 57 : 7 = 8 Rest 1 gehen nicht auf.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Im Bild sind alle Vielfachen von 2 und von 3 gestrichen. Welche Zahl wird als Nächstes eingekreist?

● 5
○ 4
○ 7

Die nächste Zahl, die noch nicht gestrichen ist, ist 5. Sie wird eingekreist, und ihre Vielfachen 10, 15, 20, … werden gestrichen. 4 ist schon als Vielfaches von 2 gestrichen, 7 kommt erst danach.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Beim Sieb des Eratosthenes wird auch die 2 selbst gestrichen, wenn man die Vielfachen von 2 streicht.

✓ Falsch

Die 2 ist eine Primzahl und bleibt stehen. Gestrichen werden erst 4, 6, 8, …, also die Vielfachen, die größer sind als die Zahl selbst.

Multiple Choice #10 20s ▶ Testen

Beim Sieb bis 100 streichst du die Vielfachen einiger Zahlen. Welche Auswahl reicht gerade aus?

● 2, 3, 5 und 7
○ 2, 3 und 5
○ 2, 3, 5, 7 und 11

Jede zusammengesetzte Zahl bis 100 hat einen Teiler aus 2, 3, 5 oder 7, denn 11 · 11 = 121 ist schon zu groß. Mit 2, 3 und 5 allein bliebe 49 = 7 · 7 stehen. Die 11 wird nicht mehr gebraucht, denn ihr erstes ungestrichenes Vielfaches wäre 11 · 11 = 121.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Die Zahl 19 hat genau ___ Teiler.

✓ Antwort: 2

Bei 19 Plättchen gibt es nur das Rechteck aus einer Reihe. Die Teilermenge ist T₁₉ = {1, 19}, also hat 19 genau zwei Teiler und ist eine Primzahl.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze: 51 = 3 · ___

✓ Antwort: 17

51 : 3 = 17, denn 3 · 17 = 51. Die Zahl hat also mehr als zwei Teiler: 1, 3, 17 und 51.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Wie viele Primzahlen gibt es bis 100?

✓ Antwort: 25

Nach dem Sieben mit 2, 3, 5 und 7 bleiben 25 Zahlen stehen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 und 97.

Schwer

Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Wie viele Primzahlen liegen zwischen 21 und 30 (einschließlich 21 und 30)?

✓ Antwort: 2

21 = 3 · 7, 22 = 2 · 11, 24, 26, 28 und 30 sind gerade, 25 = 5 · 5, 27 = 3 · 9. Nur 23 und 29 haben keine Teiler außer 1 und sich selbst. Es sind 2 Primzahlen.

Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Zwischen 90 und 100 liegt genau eine Primzahl. Wie heißt sie?

✓ Antwort: 97

91 = 7 · 13, 93 = 3 · 31, 95 = 5 · 19 und 99 = 9 · 11 sind zusammengesetzt, die geraden Zahlen haben den Teiler 2. Nur 97 hat keine Teiler außer 1 und 97.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Entscheide für 77, 79 und 87, ob es Primzahlen sind. Prüfe dazu die Teilbarkeit durch 2, 3, 5 und 7, schreibe bei zusammengesetzten Zahlen eine Malaufgabe auf und begründe bei der Primzahl, warum nichts mehr geprüft werden muss. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 77 = 7 · 11, zusammengesetzt. 87: Quersumme 15, also durch 3 teilbar, 87 = 3 · 29, zusammengesetzt. 79: nicht gerade, Quersumme 16 (nicht durch 3), endet nicht auf 0 oder 5, 79 : 7 = 11 Rest 2. Da 11 · 11 = 121 größer als 79 ist, muss ein Teiler von 79 unter 11 liegen, und alle Zahlen bis 10 sind durch 2, 3, 5 und 7 abgedeckt. Also hat 79 keinen weiteren Teiler und ist eine Primzahl.

77 und 87 haben die Teiler 7 und 3. Bei 79 lässt jede Prüfzahl 2, 3, 5 und 7 einen Rest, und zwei Teiler ab 11 hätten ein Produkt von mindestens 121, also über 79. Jeder Teiler von 79 hätte deshalb einen Partner unter 11, und der wäre schon durch 2, 3, 5 oder 7 geprüft.

Zahleneingabe #4 50s ▶ Testen

Wie viele Primzahlen liegen zwischen 1 und 50?

✓ Antwort: 15

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 und 47 sind es, also 15. Beim Sieben bis 50 reichen die Streichzahlen 2, 3, 5 und 7, denn schon 11 · 11 = 121 ist größer als 50.