Terme aus Mustern
Die Kette aus 3 Quadraten braucht 10 Hölzer. Wie viele Hölzer braucht eine Kette aus 4 Quadraten?
Erklärung: Das erste Holz plus drei Hölzer je Quadrat: 1 + 3 · 4 = 13. Ein neues Quadrat braucht nur 3 neue Hölzer, weil die linke Seite schon liegt (10 + 4 = 14 wäre zu viel; 4 · 4 = 16 würde die gemeinsamen Hölzer doppelt zählen).
Welcher Term gibt die Anzahl der Hölzer einer Kette aus n Quadraten an?
Erklärung: Am Anfang liegt 1 Holz, jedes Quadrat bringt 3 dazu: 3n + 1. Prüfe mit n = 3: 3 · 3 + 1 = 10 Hölzer. 4n ergäbe 12, 3n nur 9.
Bei der Kette braucht jedes weitere Quadrat 4 Hölzer.
Erklärung: Falsch. Die linke Seite liegt schon: von 2 Quadraten (7 Hölzer) zu 3 Quadraten (10 Hölzer) kommen 3 Hölzer dazu.
Jedes weitere Quadrat der Kette braucht ___ Hölzer.
Erklärung: Oben, unten und rechts: 3 neue Hölzer; die linke Seite ist die rechte Seite des Vorgängers.
Wie viele Hölzer braucht eine Kette aus 100 Quadraten?
Erklärung: 3n + 1 mit n = 100: 3 · 100 + 1 = 301.
Eine Kette aus 5 Quadraten braucht 16 Hölzer. Wie viele Hölzer braucht eine Kette aus 10 Quadraten?
Erklärung: Für 10 Quadrate: 3 · 10 + 1 = 31. Das Doppelte von 16 (32) wäre falsch, denn das erste Holz zählt nur einmal; 3n allein (30) vergisst es.
Das Diagramm zeigt die Hölzer der Kette. Um wie viele Hölzer wächst die Kette bei jedem weiteren Quadrat?
Erklärung: Von Punkt zu Punkt steigt der Wert um 3: 4, 7, 10, 13, 16.
Eine Kette aus 4 Quadraten braucht 13 Hölzer. Also braucht eine Kette aus 8 Quadraten 26 Hölzer.
Erklärung: Falsch. Für 8 Quadrate: 3 · 8 + 1 = 25 Hölzer, nicht 2 · 13 = 26. Doppelt so viele Quadrate heißt nicht doppelt so viele Hölzer.
Wie viele Hölzer braucht eine Kette aus 12 Quadraten?
Erklärung: 3 · 12 + 1 = 37.
Aus 61 Hölzern wird eine Kette gelegt, ohne dass Hölzer übrig bleiben. Aus wie vielen Quadraten besteht sie?
Erklärung: 3n + 1 = 61, also 3n = 60 und n = 20.
Julia zählt die Hölzer der Kette getrennt: waagerechte (blau) und senkrechte (orange). Welcher Term gehört zu ihrer Zählweise?
Erklärung: Waagerecht liegen oben und unten je n Hölzer, also 2n; senkrecht stehen n + 1 Hölzer (das erste am Anfang). Für n = 3: 6 + 4 = 10.
Die Tabelle zeigt die Hölzer der Kette. Welcher Term passt zu allen vier Werten?
Erklärung: 3n + 1 ergibt 4, 7, 10, 13. n + 3 passt nur zu n = 1 (4), 4n passt nur zu n = 1 (4), dann weichen sie ab.
3n + 1 und n + 3 haben für n = 1 denselben Wert (4). Also sind die beiden Terme gleich.
Erklärung: Falsch. Für n = 2 ist 3n + 1 = 7, aber n + 3 = 5. Ein gemeinsamer Wert beweist keine Gleichheit der Terme.
Berechne 2n + (n + 1) für n = 6.
Erklärung: 2 · 6 + (6 + 1) = 12 + 7 = 19. Das ist auch 3 · 6 + 1 = 19.
Kai zählt anders: jedes Quadrat einzeln mit 4 Hölzern, dann zieht er die gemeinsamen Hölzer ab: 4n − (n − 1). Wie viele Hölzer sind es für n = 10?
Erklärung: 4 · 10 − (10 − 1) = 40 − 9 = 31. Wieder derselbe Wert wie 3 · 10 + 1 = 31.
Eine Streichholzkette besteht aus n Quadraten. Zähle die Hölzer auf zwei verschiedene Arten (zum Beispiel „ein Holz am Anfang und 3 je Quadrat“ und „waagerechte und senkrechte getrennt“) und stelle zu jeder Zählweise einen Term auf. Zeige mit einer Tabelle für n = 1 bis 4, dass beide Terme übereinstimmen, und berechne die Anzahl für n = 50.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Zwei Zählweisen führen auf verschieden aussehende Terme mit gleichen Werten; die Tabelle prüft mehrere n, nicht nur eines.