Terme aus Mustern
Terms from patterns
Bildhafte und numerische Muster (Streichholzkette) werden zu Termen: fester Startwert plus Zuwachs je Schritt, 3n + 1. Der Abschnitt räumt zwei Fehler aus, die Stacey (1989) und De Bock u. a. (2002) beschreiben: das proportionale Modell (4n statt 3n + 1) und den Zuwachs ohne Startwert (3n). Er zeigt, dass zwei Zählweisen verschieden aussehende, aber gleichwertige Terme liefern und dass eine Tabelle mehrere Werte prüfen muss. Er bereitet Zuordnungsvorschriften (M8 1) vor.
Die Streichholzkette
Ein Quadrat braucht 4 Hölzer, zwei Quadrate in einer Kette 7, drei Quadrate 10. Es kommen also immer drei Hölzer dazu: oben, unten und rechts. Das erste Holz, die linke Seite, liegt nur einmal am Anfang. Für
Für n = 100 sind das 301 Hölzer, ohne dass Mia eine einzige legen muss. Der Term beschreibt das Muster für jede Länge.
Nicht einfach mal 4
Ein naheliegender Fehler: „Ein Quadrat braucht 4 Hölzer, also brauchen n Quadrate 4n.“ Für n = 10 wären das 40, richtig sind 31. Denn bei jedem weiteren Quadrat liegt schon eine Seite. Auch verdoppeln sich die Hölzer nicht, wenn sich die Quadrate verdoppeln: Von 5 auf 10 Quadrate wächst die Zahl von 16 auf 31, nicht auf 32.
Der Zuwachs je Quadrat (3) steht vor dem n, der Startwert (1) steht allein. Nur 3n zu schreiben vergisst das erste Holz.
Zwei Zählweisen, ein Term
Du kannst die Hölzer auch getrennt zählen:
Ob zwei Terme wirklich gleich sind, prüfst du nicht an einem einzigen Wert: 3n + 1 und n + 3 haben für n = 1 beide den Wert 4, für n = 2 aber 7 und 5. Eine Tabelle mit mehreren Werten zeigt den Unterschied.
Voraussetzungen (1)
Die Kette aus 3 Quadraten braucht 10 Hölzer. Wie viele Hölzer braucht eine Kette aus 4 Quadraten?
Welcher Term gibt die Anzahl der Hölzer einer Kette aus n Quadraten an?
Bei der Kette braucht jedes weitere Quadrat 4 Hölzer.
Eine Kette aus 5 Quadraten braucht 16 Hölzer. Wie viele Hölzer braucht eine Kette aus 10 Quadraten?
Das Diagramm zeigt die Hölzer der Kette. Um wie viele Hölzer wächst die Kette bei jedem weiteren Quadrat?
Eine Kette aus 4 Quadraten braucht 13 Hölzer. Also braucht eine Kette aus 8 Quadraten 26 Hölzer.
Julia zählt die Hölzer der Kette getrennt: waagerechte (blau) und senkrechte (orange). Welcher Term gehört zu ihrer Zählweise?
Die Tabelle zeigt die Hölzer der Kette. Welcher Term passt zu allen vier Werten?
3n + 1 und n + 3 haben für n = 1 denselben Wert (4). Also sind die beiden Terme gleich.
Jedes weitere Quadrat der Kette braucht ___ Hölzer.
Wie viele Hölzer braucht eine Kette aus 12 Quadraten?
Berechne 2n + (n + 1) für n = 6.
Wie viele Hölzer braucht eine Kette aus 100 Quadraten?
Aus 61 Hölzern wird eine Kette gelegt, ohne dass Hölzer übrig bleiben. Aus wie vielen Quadraten besteht sie?
Kai zählt anders: jedes Quadrat einzeln mit 4 Hölzern, dann zieht er die gemeinsamen Hölzer ab: 4n − (n − 1). Wie viele Hölzer sind es für n = 10?
Eine Streichholzkette besteht aus n Quadraten. Zähle die Hölzer auf zwei verschiedene Arten (zum Beispiel „ein Holz am Anfang und 3 je Quadrat“ und „waagerechte und senkrechte getrennt“) und stelle zu jeder Zählweise einen Term auf. Zeige mit einer Tabelle für n = 1 bis 4, dass beide Terme übereinstimmen, und berechne die Anzahl für n = 50. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.