Der Inkreis
Ein Kiosk soll von den drei Straßen gleich weit entfernt sein, die ein Dreieck bilden. Auf welchen Linien liegt er?
Erklärung: Gleicher Abstand zu zwei Geraden bedeutet: Der Punkt liegt auf der Winkelhalbierenden ihres Winkels. Mittelsenkrechten liefern gleichen Abstand zu Punkten, nicht zu Geraden.
Die drei Winkelhalbierenden sind gezeichnet. Tippe auf den Inkreismittelpunkt.
Erklärung: Der Inkreismittelpunkt ist der gemeinsame Punkt der drei Winkelhalbierenden. Der Schwerpunkt und der Umkreismittelpunkt liegen auf keiner von ihnen.
Die Winkelhalbierende von α geht durch die Mitte der gegenüberliegenden Seite a.
Erklärung: Die Winkelhalbierende teilt den Winkel α in zwei gleich große Teile; sie trifft die Gegenseite meist nicht in ihrer Mitte. Die Verbindung zur Seitenmitte ist etwas ganz anderes.
Um den Inkreismittelpunkt zu konstruieren, genügen zwei Winkelhalbierende.
Erklärung: Zwei Winkelhalbierende schneiden sich in einem Punkt I, der von allen drei Seiten gleich weit entfernt ist; damit liegt I auch auf der dritten Winkelhalbierenden.
Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der drei ___.
Erklärung: Der Inkreismittelpunkt hat von allen drei Seiten denselben Abstand und liegt deshalb auf allen drei Winkelhalbierenden.
Im Dreieck ABC ist α = 64° und β = 48°. Die Winkelhalbierenden bei A und B schneiden sich in I. Wie groß ist der Winkel AIB (in Grad)?
Erklärung: Die Winkelhalbierenden teilen α und β in je zwei gleiche Teile: 32° und 24°. Im Dreieck ABI ist die Winkelsumme 180°, also ∠AIB = 180° − 32° − 24° = 124°.
Der Inkreismittelpunkt I hat von der Seite AB den Abstand 2 cm. Wie weit ist I von der Seite BC entfernt?
Erklärung: I hat von allen drei Seiten denselben Abstand: dem Radius des Inkreises. Also ist auch der Abstand zu BC gleich 2 cm.
I ist der Inkreismittelpunkt. Tippe auf einen Radius des Inkreises.
Erklärung: Der Radius des Inkreises ist der Abstand von I zu einer Seite, gemessen senkrecht (Lot). IF steht senkrecht auf AB. IC führt zu einer Ecke und IM zur Seitenmitte; beide sind länger.
I ist der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks. Das Lot von I auf die Seite AB ist 2 cm lang, und es ist IC = 3 cm. Der Inkreisradius beträgt 3 cm.
Erklärung: Der Inkreisradius ist das Lot von I auf eine Seite: 2 cm. Die Strecke IC zur Ecke ist länger und kein Radius des Inkreises.
Ein Kreis berührt alle drei Seiten eines Dreiecks von innen; sein Durchmesser beträgt 7 cm. Wie weit ist sein Mittelpunkt von jeder Seite entfernt (in cm)?
Erklärung: Der Abstand zu jeder Seite ist der Radius: 7 cm : 2 = 3,5 cm.
Das Dreieck hat den rechten Winkel bei A(0|0), die Katheten liegen auf den Achsen. Der Inkreismittelpunkt ist I(2|2). Wie groß ist der Inkreisradius (in Längeneinheiten)?
Erklärung: Der Radius ist der Abstand von I zu einer Seite. Die Seiten AB und AC liegen auf den Achsen, I(2|2) hat von jeder Achse den Abstand 2. Also ρ = 2.
Zeichne ein Dreieck ABC mit AB = 8 cm, BC = 6 cm und CA = 7 cm. Konstruiere seinen Inkreis: Beschreibe die Schritte und erkläre, wie du den Radius bestimmst.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Radius ist das Lot von I auf eine Seite (Abstand zur Seite). Die Winkelhalbierenden liefern I, das Lot liefert den Radius; der Kreis um I mit diesem Radius berührt alle drei Seiten von innen.
Auf einem dreieckigen Grundstück soll ein Baum von allen drei Grundstücksgrenzen gleich weit entfernt stehen. Welcher Kreis gehört dazu?
Erklärung: Gleicher Abstand zu den Seiten (den Grenzen) ist die Eigenschaft des Inkreismittelpunkts; er liegt auf den Winkelhalbierenden. Der Umkreis hat gleichen Abstand zu den Ecken.
Der gezeichnete Kreis ist der Inkreis des Dreiecks.
Erklärung: Der Kreis geht durch alle drei Ecken, er ist also der Umkreis. Ein Inkreis liegt ganz im Dreieck und berührt die Seiten.
Ein Dreieck hat die Winkel 25°, 40° und 115°. Der Inkreismittelpunkt liegt im Inneren des Dreiecks.
Erklärung: Der Inkreismittelpunkt liegt immer im Inneren, auch beim stumpfen Winkel 115°, denn Winkelhalbierende verlaufen im Inneren des Dreiecks. Nur der Umkreismittelpunkt kann außen liegen.
Ein Sendemast soll von den Ecken A, B und C eines dreieckigen Grundstücks gleich weit entfernt stehen. Sein Standort ist der Mittelpunkt des Umkreises.
Erklärung: Gleicher Abstand zu den Ecken ist die Eigenschaft des Umkreismittelpunkts (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten). Gleicher Abstand zu den Seiten wäre der Inkreismittelpunkt.
Der Umkreis eines Dreiecks geht durch die drei ___ des Dreiecks.
Erklärung: Der Umkreis hat als Radius den Abstand von O zu den Ecken; er geht durch A, B und C.
Ein Dreieck hat den Umkreisradius 6,5 cm und den Inkreisradius 2 cm. Wie weit ist der Umkreismittelpunkt von der Ecke A entfernt (in cm)?
Erklärung: Der Abstand des Umkreismittelpunkts von einer Ecke ist der Umkreisradius: 6,5 cm. Der Inkreisradius 2 cm gehört zum Abstand des Inkreismittelpunkts von den Seiten und wird nicht gebraucht.