Konstruktionen in Sachaufgaben
Im Maßstab 1 : 1000 ist die Strecke AB in der Zeichnung 6 cm lang. Wie lang ist sie in Wirklichkeit?
Erklärung: 1 cm in der Zeichnung entspricht 1000 cm = 10 m in Wirklichkeit. Also sind 6 cm in der Zeichnung 6 · 10 m = 60 m in Wirklichkeit.
Im Maßstab 1 : 500 entspricht 1 cm in der Zeichnung 5 m in Wirklichkeit.
Erklärung: 1 cm in der Zeichnung sind 500 cm in Wirklichkeit, und 500 cm = 5 m.
Eine Strecke ist in Wirklichkeit 45 m lang. Wie lang ist sie in einer Zeichnung im Maßstab 1 : 1000 (in cm)?
Erklärung: 45 m = 4500 cm. Durch 1000 geteilt ergeben sich 4,5 cm.
Zwei Bäume stehen 130 m voneinander entfernt. Du zeichnest im Maßstab 1 : 2000. Wie viele cm misst die Strecke in der Zeichnung?
Erklärung: 130 m = 13 000 cm. 13 000 : 2000 = 6,5 cm.
Drei Dörfer A, B und C liegen nicht auf einer Geraden. Ein gemeinsamer Brunnen soll von allen drei Dörfern gleich weit entfernt sein. Welche Konstruktion liefert seinen Standort?
Erklärung: Gleicher Abstand zu Punkten (den Dörfern) führt auf die Mittelsenkrechten. Der Standort ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC. Winkelhalbierende liefern gleichen Abstand zu Geraden.
Drei geradlinige Straßen bilden ein Dreieck. Ein Kiosk soll von allen drei Straßen gleich weit entfernt stehen. Welche Konstruktion liefert seinen Standort?
Erklärung: Gleicher Abstand zu Geraden (den Straßen) führt auf die Winkelhalbierenden. Der Standort ist der Inkreismittelpunkt des Dreiecks.
Eine Bühne AB ist 12 m breit. Ein Fotograf soll die Bühne unter einem rechten Winkel sehen. Wo darf er stehen?
Erklärung: Ein Punkt C sieht AB genau dann unter 90°, wenn er auf dem Thaleskreis über AB liegt. Die Mittelsenkrechte liefert gleiche Entfernung zu A und B, aber keinen rechten Winkel.
Der Fotograf steht auf dem Thaleskreis über der 12 m breiten Bühne AB. Wie weit ist er von der Mitte der Bühne entfernt (in m)?
Erklärung: Der Thaleskreis über AB hat den Radius 12 m : 2 = 6 m. Der Fotograf steht auf dem Kreis, also 6 m vom Mittelpunkt entfernt.
Der Brunnen O steht im Umkreismittelpunkt der Dörfer A, B und C und ist 850 m von A entfernt. Wie weit ist er vom Dorf C entfernt (in m)?
Erklärung: Der Umkreismittelpunkt hat von allen drei Ecken den gleichen Abstand, dem Umkreisradius: OC = OA = 850 m.
Der Kiosk steht im Inkreismittelpunkt des Dreiecks aus den Straßen 1, 2 und 3 und ist 40 m von Straße 1 entfernt. Wie weit ist er von Straße 2 entfernt (in m)?
Erklärung: Der Inkreismittelpunkt hat von allen drei Seiten (Straßen) den gleichen Abstand, dem Inkreisradius: 40 m.
Die Dörfer A, B und C liegen so, dass AB = 6 km, BC = 5 km und CA = 4 km ist. Ein Brunnen soll von allen drei Dörfern gleich weit entfernt sein. Lege einen Maßstab fest (z. B. 1 cm ≙ 1 km), zeichne eine Planfigur und die Konstruktion, bestimme den Standort und gib die Entfernung des Brunnens zu den Dörfern in km an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Brunnen ist der Umkreismittelpunkt. Sein Abstand zu den Dörfern ist der Umkreisradius, hier etwa 3,0 km (Zeichenungenauigkeit: 1 mm entspricht 100 m).
Im Maßstab 1 : 1000 misst du die Flussbreite in der Zeichnung zu 5,0 cm. Welcher Antwortsatz stimmt?
Erklärung: 5,0 cm · 1000 = 5000 cm = 50 m. Die Antwort muss zurück in die Wirklichkeit übersetzt werden und die Einheit tragen; „etwa“, weil man nur auf Millimeter genau zeichnet.
Im Maßstab 1 : 1000 wird aus einem Messfehler von 1 mm in der Zeichnung ein Fehler von etwa 1 m in Wirklichkeit.
Erklärung: 1 mm · 1000 = 1000 mm = 1 m. Deshalb ist eine Konstruktionsantwort nie genauer als der Zeichenfehler mal Maßstabszahl.
Du hast die Flussbreite in einer Zeichnung im Maßstab 1 : 1000 zu 3,7 cm gemessen. Wie breit ist der Fluss in Wirklichkeit (in m)?
Erklärung: 3,7 cm · 1000 = 3700 cm = 37 m. Der Fluss ist etwa 37 m breit.
Ein Mast wird im Maßstab 1 : 250 gezeichnet. In der Zeichnung ist er 8,4 cm hoch. Wie hoch ist der Mast in Wirklichkeit (in m)?
Erklärung: 8,4 cm · 250 = 2100 cm = 21 m.
Am Ufer ist die Strecke AB = 80 m abgesteckt. Ein Baum C am anderen Ufer wird von A unter α = 55° und von B unter β = 65° angepeilt (Winkel zu AB). Bestimme die Flussbreite durch Konstruktion im Maßstab 1 : 1000 und schreibe einen Antwortsatz.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Höhe des Dreiecks über AB ist die Flussbreite. Sie wird in der Zeichnung gemessen und mit dem Maßstab in Meter umgerechnet: etwa 69 m.