Der Satz des Thales
AB ist ein Durchmesser des Kreises und C ein Punkt des Kreises. Wie groß ist der Winkel ACB?
Erklärung: Nach dem Satz des Thales ist der Winkel bei C ein rechter, wenn C auf dem Kreis über dem Durchmesser AB liegt – egal wo auf dem Halbkreis.
AB ist ein Durchmesser des Kreises. Tippe auf den Punkt, bei dem der Winkel zwischen den Strecken zu A und zu B genau 90° ist.
Erklärung: Nur ein Punkt auf dem Kreis über dem Durchmesser AB sieht die Strecke AB unter 90°. P2 liegt im Inneren (Winkel größer als 90°), P3 außerhalb (Winkel kleiner als 90°).
Der Winkel ACB ist nur dann ein rechter, wenn C genau über der Mitte von AB liegt.
Erklärung: Jeder Punkt C des Halbkreises über AB ergibt einen rechten Winkel, nicht nur der höchste Punkt. Der höchste Punkt ist nur ein Sonderfall (dort ist das Dreieck gleichschenklig).
Liegt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB, so ist der Winkel bei C ein ___ Winkel.
Erklärung: Das ist der Satz des Thales: Der Winkel bei C beträgt 90°, ein rechter Winkel.
AB ist ein Durchmesser, C liegt auf dem Kreis, und ∠CAB = 28°. Wie groß ist ∠ABC (in Grad)?
Erklärung: Nach Thales ist ∠ACB = 90°. Die Winkelsumme im Dreieck ABC beträgt 180°: ∠ABC = 180° − 90° − 28° = 62°.
Ein Kreis hat den Radius 5 cm. A und B sind Punkte auf dem Kreis. Bei welcher Länge von AB ist der Winkel ACB für jeden Punkt C des Kreises ein rechter Winkel?
Erklärung: Der Satz des Thales verlangt, dass AB ein Durchmesser ist: AB = 2 · 5 cm = 10 cm. Eine kürzere Strecke ist nur eine Sehne; dafür gilt der Satz nicht.
Im Bild ist AB eine Sehne, die nicht durch M geht. Für den Punkt C auf dem Kreis ist ∠ACB trotzdem ein rechter Winkel.
Erklärung: Der Satz des Thales gilt nur, wenn AB ein Durchmesser ist, also durch den Mittelpunkt M geht. Hier ist AB eine Sehne, und der Winkel bei C ist nicht 90°.
Ein Kreis hat den Radius 6 cm. Wie lang muss die Strecke AB sein, damit der Winkel ACB für jedes C auf dem Kreis ein rechter Winkel ist (in cm)?
Erklärung: AB muss ein Durchmesser sein: 2 · 6 cm = 12 cm.
Der Punkt A(−3|−4) liegt auf dem Kreis um M(0|0). Der Punkt B soll so auf dem Kreis liegen, dass AB ein Durchmesser ist. Wie lautet die x-Koordinate von B?
Erklärung: Ein Durchmesser geht durch M, also liegt B gegenüber von A: B(3|4). Die x-Koordinate ist 3.
AB ist ein Durchmesser, M sein Mittelpunkt, und der Radius MC ist gezeichnet. Welche Strecken sind gleich lang?
Erklärung: MA, MB und MC sind Radien desselben Kreises und damit gleich lang. AC und BC sind es nur zufällig; AB ist ein Durchmesser, also doppelt so lang wie MC.
Das Dreieck AMC ist gleichschenklig (MA = MC). Tippe auf seine Basis.
Erklärung: Die Basis liegt zwischen den beiden gleich langen Schenkeln MA und MC, also ist es die Seite AC. Ihre Basiswinkel bei A und bei C sind gleich groß.
Im gleichschenkligen Dreieck AMC ist MA = MC und ∠CAM = 25°. Wie groß ist der Basiswinkel ∠MCA (in Grad)?
Erklärung: In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß: ∠MCA = ∠CAM = 25°.
AB ist ein Durchmesser mit Mittelpunkt M und C liegt auf dem Kreis. Es ist ∠MCA = 25°. Wie groß ist ∠MCB (in Grad)?
Erklärung: Nach Thales ist ∠ACB = 90° = ∠MCA + ∠MCB, also ∠MCB = 90° − 25° = 65°. (Im Beweis ist das β = 90° − α.)
AB ist ein Durchmesser eines Kreises mit dem Mittelpunkt M, C ein weiterer Punkt des Kreises. Beweise, dass der Winkel ACB ein rechter Winkel ist. Zeichne eine Beweisfigur, benenne gleich große Winkel mit α und β und schreibe jeden Schritt mit seiner Begründung auf.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Beweis nutzt nur gleich lange Radien, die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck und die Winkelsumme. Er gilt für jede Lage von C, nicht nur für gemessene Fälle.
Du sollst den Thaleskreis über der Strecke AB mit AB = 8 cm zeichnen. Welchen Mittelpunkt und welchen Radius wählst du?
Erklärung: Der Thaleskreis hat AB als Durchmesser: Mittelpunkt ist die Mitte von AB (Mittelsenkrechte), Radius die halbe Länge, also 4 cm. Radius 8 cm ergäbe einen Kreis mit Durchmesser 16 cm.
Tippe auf den Mittelpunkt des Thaleskreises über AB.
Erklärung: Der Mittelpunkt des Thaleskreises liegt in der Mitte von AB (Mittelsenkrechte konstruieren). Die anderen beiden Punkte liegen näher an A beziehungsweise an B.
Der Thaleskreis über AB hat AB = 9 cm. Wie groß ist sein Radius (in cm)?
Erklärung: Der Radius ist die halbe Strecke: 9 cm : 2 = 4,5 cm.
Der Thaleskreis liegt über der Strecke AB mit A(1|0) und B(9|0). Wie lautet die x-Koordinate seines Mittelpunkts?
Erklärung: Der Mittelpunkt ist die Mitte von AB: x = (1 + 9) : 2 = 5. Der Radius wäre 4.