Der Satz des Thales
Thales' theorem
Liegt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB, so ist der Winkel bei C ein rechter (Satz des Thales). Die Station geht vom Versuch (der Winkel bleibt bei jeder Lage von C gleich) zum Beweis: Die Radien MA, MB, MC sind gleich lang, es entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke, und die Winkelsumme liefert α + β = 90°. Sie räumt aus, dass jede Sehne oder jeder Punkt in der Nähe des Kreises genügt: AB muss Durchmesser sein und C auf dem Kreis liegen. Sie bereitet die Umkehrung, die Tangentenkonstruktion und die Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke vor.
Ein Halbkreis-Versuch
Zeichne eine Strecke AB. Ihre Mitte M findest du mit der Mittelsenkrechten. Der Kreis um M durch A und B hat AB als Durchmesser und heißt Thaleskreis über AB; sein
Das ist der Satz des Thales, der Thales von Milet zugeschrieben wird: Liegt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB, dann ist der Winkel bei C ein rechter. Messen zeigt aber nur einzelne Fälle. Ob es immer stimmt, klärt erst ein Beweis.
Der Beweis
Verbinde C mit dem Mittelpunkt M. Die Strecken MA, MB und MC sind Radien und gleich lang. Das Dreieck AMC ist deshalb gleichschenklig, seine Basiswinkel bei A und bei C sind gleich; nenne sie
Also ist
Nur mit dem Durchmesser
Der Beweis lebt von MA = MB = MC. Das gilt nur, wenn AB ein Durchmesser ist und C auf dem Kreis liegt. Liegt C innerhalb des Kreises, ist γ größer als 90°, liegt C außerhalb, ist γ kleiner. Und eine Sehne AB, die nicht durch M geht, hat keinen Thaleskreis: Für sie ist der Winkel bei C nicht 90°.
Ermöglicht (1)
AB ist ein Durchmesser des Kreises und C ein Punkt des Kreises. Wie groß ist der Winkel ACB?
AB ist ein Durchmesser des Kreises. Tippe auf den Punkt, bei dem der Winkel zwischen den Strecken zu A und zu B genau 90° ist.
Der Winkel ACB ist nur dann ein rechter, wenn C genau über der Mitte von AB liegt.
Ein Kreis hat den Radius 5 cm. A und B sind Punkte auf dem Kreis. Bei welcher Länge von AB ist der Winkel ACB für jeden Punkt C des Kreises ein rechter Winkel?
Im Bild ist AB eine Sehne, die nicht durch M geht. Für den Punkt C auf dem Kreis ist ∠ACB trotzdem ein rechter Winkel.
AB ist ein Durchmesser, M sein Mittelpunkt, und der Radius MC ist gezeichnet. Welche Strecken sind gleich lang?
Das Dreieck AMC ist gleichschenklig (MA = MC). Tippe auf seine Basis.
Du sollst den Thaleskreis über der Strecke AB mit AB = 8 cm zeichnen. Welchen Mittelpunkt und welchen Radius wählst du?
Tippe auf den Mittelpunkt des Thaleskreises über AB.
Liegt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB, so ist der Winkel bei C ein ___ Winkel.
Ein Kreis hat den Radius 6 cm. Wie lang muss die Strecke AB sein, damit der Winkel ACB für jedes C auf dem Kreis ein rechter Winkel ist (in cm)?
Im gleichschenkligen Dreieck AMC ist MA = MC und ∠CAM = 25°. Wie groß ist der Basiswinkel ∠MCA (in Grad)?
Der Thaleskreis über AB hat AB = 9 cm. Wie groß ist sein Radius (in cm)?
AB ist ein Durchmesser, C liegt auf dem Kreis, und ∠CAB = 28°. Wie groß ist ∠ABC (in Grad)?
Der Punkt A(−3|−4) liegt auf dem Kreis um M(0|0). Der Punkt B soll so auf dem Kreis liegen, dass AB ein Durchmesser ist. Wie lautet die x-Koordinate von B?
AB ist ein Durchmesser mit Mittelpunkt M und C liegt auf dem Kreis. Es ist ∠MCA = 25°. Wie groß ist ∠MCB (in Grad)?
AB ist ein Durchmesser eines Kreises mit dem Mittelpunkt M, C ein weiterer Punkt des Kreises. Beweise, dass der Winkel ACB ein rechter Winkel ist. Zeichne eine Beweisfigur, benenne gleich große Winkel mit α und β und schreibe jeden Schritt mit seiner Begründung auf. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Der Thaleskreis liegt über der Strecke AB mit A(1|0) und B(9|0). Wie lautet die x-Koordinate seines Mittelpunkts?