Die Tangente an einen Kreis
Die Gerade t berĂŒhrt den Kreis um M im Punkt T. Wie groĂ ist der Winkel zwischen t und dem Radius MT?
ErklĂ€rung: Eine Tangente steht im BerĂŒhrpunkt senkrecht auf dem BerĂŒhrradius MT. Der Winkel betrĂ€gt 90°, egal wo T liegt.
Tippe auf die Tangente des Kreises.
ErklĂ€rung: Eine Tangente berĂŒhrt den Kreis in genau einem Punkt. g2 schneidet den Kreis in zwei Punkten (Sekante), g3 trifft ihn gar nicht (Passante).
Der Kreis um M(0|0) geht durch T(0|4). Die Tangente in T ist die Gerade x = 0.
ErklĂ€rung: Der BerĂŒhrradius MT liegt auf der y-Achse (x = 0). Die Tangente steht senkrecht darauf, ist also die waagerechte Gerade y = 4. Die Gerade x = 0 ist die Gerade MT selbst.
Der Kreis um M(0|0) geht durch T(5|0). Die Tangente in T ist die Gerade x = 5.
ErklĂ€rung: Der BerĂŒhrradius MT liegt auf der x-Achse, die Tangente steht senkrecht darauf und geht durch T(5|0): die senkrechte Gerade x = 5.
Die Tangente und der BerĂŒhrradius bilden einen ___ Winkel.
ErklĂ€rung: Im BerĂŒhrpunkt T stehen Tangente und Radius MT senkrecht aufeinander: Sie bilden einen rechten Winkel.
Ein Kreis um M hat den Radius 4 cm, und die Gerade t berĂŒhrt ihn im Punkt T. Wie weit ist M von der Geraden t entfernt (in cm)?
ErklĂ€rung: Der Abstand von M zu t ist die LĂ€nge des Lotes von M auf t. Das ist der BerĂŒhrradius MT, also 4 cm.
S liegt auf der Tangente in T an den Kreis um M. Es ist â MST = 30°. Wie groĂ ist der Winkel SMT (in Grad)?
ErklĂ€rung: Im Dreieck MTS ist â MTS = 90° (Tangente â Radius). Winkelsumme: â SMT = 180° â 90° â 30° = 60°.
Du konstruierst die Tangenten von P an den Kreis k um M. Du hast die Mitte N von MP gefunden. Was zeichnest du als NĂ€chstes?
ErklĂ€rung: Der Thaleskreis ĂŒber MP hat den Mittelpunkt N und geht durch M und P. Seine Schnittpunkte mit k sind die BerĂŒhrpunkte. Die anderen Kreise haben MP als Radius, nicht als Durchmesser.
Der Kreis k und der Thaleskreis ĂŒber MP sind gezeichnet. Tippe auf einen BerĂŒhrpunkt einer Tangente von P an k.
ErklĂ€rung: Ein BerĂŒhrpunkt T muss auf k liegen und auf dem Thaleskreis ĂŒber MP (dann ist â MTP = 90°). Nur B2 liegt auf beiden Kreisen.
Bringe die Schritte der Tangentenkonstruktion in die richtige Reihenfolge.
ErklĂ€rung: Erst die Mitte N (Mittelsenkrechte von MP), dann der Thaleskreis um N durch M und P. Seine Schnittpunkte mit k sind die BerĂŒhrpunkte; die Geraden durch P und diese Punkte sind die Tangenten.
Der Kreis um P durch M schneidet den Kreis k in den BerĂŒhrpunkten der Tangenten von P.
ErklĂ€rung: FĂŒr die BerĂŒhrpunkte T muss â MTP = 90° gelten, also liegen sie auf dem Thaleskreis ĂŒber MP (Mittelpunkt N, Durchmesser MP), nicht auf dem Kreis um P durch M.
Der Kreis k hat den Radius 3 cm, und P liegt 5 cm von M entfernt. Wie groĂ ist der Radius des Thaleskreises ĂŒber MP (in cm)?
ErklÀrung: Der Thaleskreis hat MP als Durchmesser: 5 cm : 2 = 2,5 cm.
T ist ein BerĂŒhrpunkt einer Tangente von P an den Kreis um M. Es ist â TMP = 50°. Wie groĂ ist â MPT (in Grad)?
ErklĂ€rung: T liegt auf dem Thaleskreis ĂŒber MP, also ist â MTP = 90° (Satz des Thales). Winkelsumme im Dreieck MTP: â MPT = 180° â 90° â 50° = 40°.
Zeichne einen Kreis k um M mit r = 3 cm und einen Punkt P mit MP = 7 cm. Konstruiere beide Tangenten von P an k, beschreibe die Schritte und begrĂŒnde mit dem Satz des Thales, warum PTâ die Kreislinie nur berĂŒhrt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Der Thaleskreis ĂŒber MP liefert genau die Punkte T mit â MTP = 90°; dort steht PT senkrecht auf dem BerĂŒhrradius MT und ist deshalb eine Tangente.
Der Kreis k hat den Radius 4 cm. Wie viele Tangenten an k gehen durch einen Punkt P, der 6 cm von M entfernt ist?
ErklĂ€rung: P liegt auĂerhalb des Kreises (6 cm > 4 cm). Von einem Punkt auĂerhalb gibt es genau zwei Tangenten: den Thaleskreis ĂŒber MP schneidet k in zwei Punkten.
Der Kreis k hat den Radius 4 cm. Durch einen Punkt P mit MP = 3 cm gibt es keine Tangente an k.
ErklÀrung: MP = 3 cm ist kleiner als der Radius 4 cm, also liegt P im Inneren von k. Jede Gerade durch einen inneren Punkt schneidet den Kreis in zwei Punkten. Sie ist also eine Sekante und keine Tangente; es gibt keine Tangente durch P.
Der Kreis k hat den Radius 5 cm. Wie viele Tangenten an k gehen durch einen Punkt P mit MP = 5 cm?
ErklĂ€rung: P liegt auf dem Kreis, ist also selbst BerĂŒhrpunkt. Es gibt genau eine Tangente: das Lot auf MP in P.
Der Kreis k hat den Radius 3 cm. Pâ ist 2 cm, Pâ ist 3 cm und Pâ ist 7 cm von M entfernt. Wie viele Tangenten an k gibt es insgesamt durch Pâ, Pâ und Pâ zusammen?
ErklĂ€rung: Pâ liegt innerhalb (0 Tangenten), Pâ auf dem Kreis (1 Tangente), Pâ auĂerhalb (2 Tangenten): 0 + 1 + 2 = 3.