Die Umkehrung des Thalessatzes
Im Dreieck ABC ist der Winkel bei C ein rechter. Auf welchem Kreis liegt die Ecke C?
Erklärung: Das ist die Umkehrung des Satzes von Thales: Ist γ = 90°, so liegt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB, dem Thaleskreis. Kreise um A oder B durch die andere Ecke haben AB als Radius, nicht als Durchmesser.
Das Dreieck hat bei C einen rechten Winkel. Tippe auf die Seite, die der Durchmesser des Kreises durch A, B und C ist.
Erklärung: Der Durchmesser des Umkreises ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel, hier AB. AC und BC sind die kürzeren Seiten (Katheten).
Im Dreieck ABC ist α = 52° und β = 38°. Die Ecke C liegt auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB.
Erklärung: Die Winkelsumme liefert γ = 180° − 52° − 38° = 90°. Nach der Umkehrung des Satzes von Thales liegt C dann auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB. Aus dem Satz allein folgt das noch nicht; die Umkehrung wird im Abschnitt „Beweis mit einem Rechteck“ bewiesen.
Im Dreieck ABC ist der Winkel bei A ein rechter. Dann liegt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB.
Erklärung: Der Durchmesser ist immer die Seite gegenüber dem rechten Winkel, hier BC. AB ist eine Kathete. Auf dem Kreis mit dem Durchmesser BC liegt dann A.
Ein Dreieck ABC hat bei C einen rechten Winkel. Der Umkreis hat die Strecke ___ als Durchmesser.
Erklärung: Der Durchmesser ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel: die Strecke AB.
Im Dreieck ABC ist ∠ACB = 90° und AB = 13 cm. Wie groß ist der Durchmesser des Kreises durch A, B und C (in cm)?
Erklärung: AB ist ein Durchmesser des Kreises durch A, B und C (Umkehrung des Satzes von Thales). Also ist der Durchmesser 13 cm.
Im Dreieck ABC ist γ = 90° und AB = 10 cm. M ist die Mitte von AB. Wie weit ist M von der Ecke C entfernt?
Erklärung: M ist der Mittelpunkt des Umkreises, MC ist ein Radius, also gleich der halben Hypotenuse: 10 cm : 2 = 5 cm. 10 cm wäre der Durchmesser, 2,5 cm ein halber Radius.
Tippe auf den Umkreismittelpunkt dieses rechtwinkligen Dreiecks.
Erklärung: Bei γ = 90° liegt der Umkreismittelpunkt in der Mitte der Seite AB gegenüber dem rechten Winkel (P2). P1 ist die Ecke C, P3 die Mitte einer Kathete: Beide haben von den Ecken nicht gleichen Abstand.
Im Dreieck ABC ist γ = 90° und AB = 8 cm. Der Umkreismittelpunkt liegt auf AB, 4 cm von A entfernt.
Erklärung: Das folgt aus der Umkehrung des Satzes von Thales: AB liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist Durchmesser des Umkreises, ihre Mitte (4 cm von A) ist der Mittelpunkt.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel 13 cm lang. Wie groß ist der Umkreisradius (in cm)?
Erklärung: Der Radius ist die halbe Seite gegenüber dem rechten Winkel: 13 cm : 2 = 6,5 cm.
Im Dreieck ABC ist γ = 90°, und M ist die Mitte von AB. Es ist MC = 3,4 cm. Wie lang ist AB (in cm)?
Erklärung: MC ist ein Radius des Umkreises, AB der Durchmesser: AB = 2 · 3,4 cm = 6,8 cm.
Im Dreieck ABC ist γ = 90° und α = 35°. M ist die Mitte von AB. Wie groß ist der Winkel MCA (in Grad)?
Erklärung: MA = MC (Radien des Umkreises), also ist das Dreieck AMC gleichschenklig mit den Basiswinkeln bei A und bei C: ∠MCA = ∠CAM = 35°.
Das Dreieck ABC hat bei C einen rechten Winkel, M ist die Mitte von AB. Zeige mit einer Punktspiegelung: MC = MA = MB. Zeichne C′, den Spiegelpunkt von C an M, und begründe jeden Schritt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Punktspiegelung macht aus dem rechtwinkligen Dreieck ein Rechteck. Weil seine Diagonalen gleich lang sind und sich halbieren, ist M von A, B, C und C′ gleich weit entfernt: C liegt auf dem Kreis um M durch A und B.
Gegeben: C liegt auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB. Was folgt daraus sicher?
Erklärung: Das ist der Satz des Thales (Kreis → rechter Winkel). AC = BC gilt nur für den höchsten Punkt des Halbkreises.
Gegeben: Im Dreieck ABC ist ∠ACB = 90°. Was folgt daraus sicher?
Erklärung: Das ist die Umkehrung (rechter Winkel → Kreis). Aus γ = 90° folgen keine gleichen Seiten und auch nicht AB = 2 · AC.
Aus „Wenn es regnet, ist die Straße nass“ folgt: „Wenn die Straße nass ist, regnet es.“
Erklärung: Die Umkehrung einer wahren Aussage muss nicht wahr sein: Die Straße kann auch nass sein, weil sie gewischt wurde. Beim Satz des Thales ist die Umkehrung dagegen wahr, aber das muss man extra beweisen.
Ist γ = 90°, so liegt C auf dem ___ über AB.
Erklärung: Der Kreis mit dem Durchmesser AB heißt Thaleskreis über AB. Satz und Umkehrung zusammen: C liegt auf dem Thaleskreis genau dann, wenn γ = 90° ist.
Im Dreieck ABC ist α = 47°, β = 43° und AB = 7 cm. Auf einem Kreis um M liegen A, B und C. Wie groß ist der Radius (in cm)?
Erklärung: Die Winkelsumme liefert γ = 180° − 47° − 43° = 90°. Nach der Umkehrung liegt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB = 7 cm, der Radius ist 3,5 cm.