Die Umkehrung des Thalessatzes

The converse of Thales' theorem

Mathematik Klasse 7 18 Aufgaben

GeometrieThalesUmkehrungBeweisRechtwinkliges Dreieck

Die Umkehrung vertauscht Voraussetzung und Behauptung: Ist der Winkel bei C ein rechter, so liegt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB. Damit ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel Durchmesser des Umkreises, und ihre Mitte M ist der Umkreismittelpunkt (MC = AB : 2). Der Beweis spiegelt C an M und erhält ein Rechteck. Die Station räumt aus, Satz und Umkehrung seien dasselbe oder eine wahre Aussage habe automatisch eine wahre Umkehrung. Sie bereitet die Tangentenkonstruktion und rechtwinklige Dreiecke aus Hypotenuse und Höhe vor.

Die Umkehrung

Der Satz des Thales sagt: Wenn C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt, dann ist $γ = 90°$ . Tauscht man Voraussetzung und Behauptung, entsteht die Umkehrung: Wenn $γ = 90°$ ist, dann liegt C auf dem Thaleskreis über AB.

Ob eine Umkehrung wahr ist, muss man extra beweisen. Aus „Wenn es regnet, ist die Straße nass“ folgt nicht „Wenn die Straße nass ist, regnet es“. Beim Satz des Thales ist die Umkehrung aber wahr. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist also Durchmesser des Umkreises, und ihre Mitte M ist der Umkreismittelpunkt: $M C = A B : 2$ .

Ändere den Winkel α. Wie lang bleibt MC, und warum?

Beweis mit einem Rechteck

Gegeben ist ein Dreieck mit rechtem Winkel bei C. Spiegle C am Mittelpunkt M von AB; der Spiegelpunkt heißt C′. M halbiert AB und CC′, also ist ACBC′ ein Parallelogramm. Es hat bei C einen rechten Winkel, und benachbarte Winkel im Parallelogramm ergänzen sich zu 180°: Alle vier Winkel sind 90°, es ist ein Rechteck.

Seine Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich, also gilt MA = MB = MC = MC′. Damit liegt C auf dem Kreis um M durch A und B. Satz und Umkehrung zusammen: C liegt auf dem Thaleskreis über AB genau dann, wenn $γ = 90°$ ist.

Gehe mit dem Regler die Schritte durch. Woran erkennst du das Rechteck?

Voraussetzungen (1)

Der Satz des Thales

Klasse 7

›

Ermöglicht (2)

Die Tangente an einen Kreis

Klasse 7

›

Dreiecke konstruieren

Klasse 7

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Im Dreieck ABC ist der Winkel bei C ein rechter. Auf welchem Kreis liegt die Ecke C?

● Auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB
○ Auf dem Kreis um A durch B
○ Auf dem Kreis um B durch A

Das ist die Umkehrung des Satzes von Thales: Ist γ = 90°, so liegt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB, dem Thaleskreis. Kreise um A oder B durch die andere Ecke haben AB als Radius, nicht als Durchmesser.

Im Bild tippen #2 15s ▶ Testen

Das Dreieck hat bei C einen rechten Winkel. Tippe auf die Seite, die der Durchmesser des Kreises durch A, B und C ist.

✓ Antwort: AB

Der Durchmesser des Umkreises ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel, hier AB. AC und BC sind die kürzeren Seiten (Katheten).

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Im Dreieck ABC ist α = 52° und β = 38°. Die Ecke C liegt auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB.

✓ Wahr

Die Winkelsumme liefert γ = 180° − 52° − 38° = 90°. Nach der Umkehrung des Satzes von Thales liegt C dann auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB. Aus dem Satz allein folgt das noch nicht; die Umkehrung wird im Abschnitt „Beweis mit einem Rechteck“ bewiesen.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Im Dreieck ABC ist der Winkel bei A ein rechter. Dann liegt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB.

✓ Falsch

Der Durchmesser ist immer die Seite gegenüber dem rechten Winkel, hier BC. AB ist eine Kathete. Auf dem Kreis mit dem Durchmesser BC liegt dann A.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Im Dreieck ABC ist γ = 90° und AB = 10 cm. M ist die Mitte von AB. Wie weit ist M von der Ecke C entfernt?

● 5 cm
○ 10 cm
○ 2,5 cm

M ist der Mittelpunkt des Umkreises, MC ist ein Radius, also gleich der halben Hypotenuse: 10 cm : 2 = 5 cm. 10 cm wäre der Durchmesser, 2,5 cm ein halber Radius.

Im Bild tippen #6 15s ▶ Testen

Tippe auf den Umkreismittelpunkt dieses rechtwinkligen Dreiecks.

✓ Antwort: P2

Bei γ = 90° liegt der Umkreismittelpunkt in der Mitte der Seite AB gegenüber dem rechten Winkel (P2). P1 ist die Ecke C, P3 die Mitte einer Kathete: Beide haben von den Ecken nicht gleichen Abstand.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Im Dreieck ABC ist γ = 90° und AB = 8 cm. Der Umkreismittelpunkt liegt auf AB, 4 cm von A entfernt.

✓ Wahr

Das folgt aus der Umkehrung des Satzes von Thales: AB liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist Durchmesser des Umkreises, ihre Mitte (4 cm von A) ist der Mittelpunkt.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Gegeben: C liegt auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB. Was folgt daraus sicher?

● Der Winkel bei C ist 90°
○ Es gilt AC = BC
○ C liegt in der Mitte des Halbkreises

Das ist der Satz des Thales (Kreis → rechter Winkel). AC = BC gilt nur für den höchsten Punkt des Halbkreises.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Gegeben: Im Dreieck ABC ist ∠ACB = 90°. Was folgt daraus sicher?

● C liegt auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB
○ Es gilt AC = BC
○ Es gilt AB = 2 · AC

Das ist die Umkehrung (rechter Winkel → Kreis). Aus γ = 90° folgen keine gleichen Seiten und auch nicht AB = 2 · AC.

Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Aus „Wenn es regnet, ist die Straße nass“ folgt: „Wenn die Straße nass ist, regnet es.“

✓ Falsch

Die Umkehrung einer wahren Aussage muss nicht wahr sein: Die Straße kann auch nass sein, weil sie gewischt wurde. Beim Satz des Thales ist die Umkehrung dagegen wahr, aber das muss man extra beweisen.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ein Dreieck ABC hat bei C einen rechten Winkel. Der Umkreis hat die Strecke ___ als Durchmesser.

✓ Antwort: AB

Der Durchmesser ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel: die Strecke AB.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel 13 cm lang. Wie groß ist der Umkreisradius (in cm)?

✓ Antwort: 6.5

Der Radius ist die halbe Seite gegenüber dem rechten Winkel: 13 cm : 2 = 6,5 cm.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ist γ = 90°, so liegt C auf dem ___ über AB.

✓ Antwort: Thaleskreis

Der Kreis mit dem Durchmesser AB heißt Thaleskreis über AB. Satz und Umkehrung zusammen: C liegt auf dem Thaleskreis genau dann, wenn γ = 90° ist.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Im Dreieck ABC ist ∠ACB = 90° und AB = 13 cm. Wie groß ist der Durchmesser des Kreises durch A, B und C (in cm)?

✓ Antwort: 13

AB ist ein Durchmesser des Kreises durch A, B und C (Umkehrung des Satzes von Thales). Also ist der Durchmesser 13 cm.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Im Dreieck ABC ist γ = 90°, und M ist die Mitte von AB. Es ist MC = 3,4 cm. Wie lang ist AB (in cm)?

✓ Antwort: 6.8

MC ist ein Radius des Umkreises, AB der Durchmesser: AB = 2 · 3,4 cm = 6,8 cm.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Im Dreieck ABC ist γ = 90° und α = 35°. M ist die Mitte von AB. Wie groß ist der Winkel MCA (in Grad)?

✓ Antwort: 35

MA = MC (Radien des Umkreises), also ist das Dreieck AMC gleichschenklig mit den Basiswinkeln bei A und bei C: ∠MCA = ∠CAM = 35°.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Das Dreieck ABC hat bei C einen rechten Winkel, M ist die Mitte von AB. Zeige mit einer Punktspiegelung: MC = MA = MB. Zeichne C′, den Spiegelpunkt von C an M, und begründe jeden Schritt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Spiegle C an M: C′. M halbiert AB und CC′, also ist ACBC′ ein Parallelogramm (Diagonalen halbieren sich). Der Winkel bei C ist 90°; im Parallelogramm ergänzen sich benachbarte Winkel zu 180°, also sind alle vier Winkel 90°: ACBC′ ist ein Rechteck. Im Rechteck sind die Diagonalen gleich lang: AB = CC′. Damit MC = CC′ : 2 = AB : 2 = MA = MB.

Die Punktspiegelung macht aus dem rechtwinkligen Dreieck ein Rechteck. Weil seine Diagonalen gleich lang sind und sich halbieren, ist M von A, B, C und C′ gleich weit entfernt: C liegt auf dem Kreis um M durch A und B.

Zahleneingabe #5 45s ▶ Testen

Im Dreieck ABC ist α = 47°, β = 43° und AB = 7 cm. Auf einem Kreis um M liegen A, B und C. Wie groß ist der Radius (in cm)?

✓ Antwort: 3.5

Die Winkelsumme liefert γ = 180° − 47° − 43° = 90°. Nach der Umkehrung liegt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB = 7 cm, der Radius ist 3,5 cm.