Der Umkreis
Ein Brunnen soll von den drei Dörfern A, B und C gleich weit entfernt sein. Auf welchen Linien liegt er?
Erklärung: Gleich weit von A und B heißt: auf der Mittelsenkrechten von AB; gleich weit von B und C: auf der Mittelsenkrechten von BC. Winkelhalbierende liefern gleichen Abstand zu Seiten, Höhen keinen gleichen Abstand zu Ecken.
Die drei Mittelsenkrechten sind gezeichnet. Tippe auf den Umkreismittelpunkt.
Erklärung: Der Umkreismittelpunkt ist der Punkt, in dem sich die drei Mittelsenkrechten schneiden. Hier liegt er außerhalb des Dreiecks. Schwerpunkt und Inkreismittelpunkt liegen innen und auf keiner der Mittelsenkrechten.
Um den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks zu finden, genügen zwei Mittelsenkrechte.
Erklärung: Zwei Mittelsenkrechte schneiden sich in genau einem Punkt O. Dort gilt OA = OB und OB = OC, also auch OA = OC: Die dritte Mittelsenkrechte geht automatisch durch O.
Den Umkreismittelpunkt findet man als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Erklärung: Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Inkreismittelpunkt, er hat gleichen Abstand zu den Seiten. Der Umkreismittelpunkt hat gleichen Abstand zu den Ecken: Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der drei ___.
Erklärung: Der Umkreismittelpunkt ist von allen drei Ecken gleich weit entfernt, deshalb liegt er auf den drei Mittelsenkrechten der Seiten.
Die Ecken sind A(0|0), B(8|0) und C(2|6). Der Punkt O(4|y) ist von A, B und C gleich weit entfernt. Berechne y.
Erklärung: Die Mittelsenkrechte von AB ist die Gerade x = 4. Für O(4|y) gilt OA² = 16 + y² und OC² = 2² + (y − 6)². Gleichsetzen: 16 + y² = 4 + y² − 12y + 36, also 12y = 24 und y = 2.
Der Umkreismittelpunkt O eines Dreiecks ABC ist von der Ecke A genau 5 cm entfernt. Wie weit ist O von der Ecke C entfernt?
Erklärung: O hat von allen drei Ecken denselben Abstand, dem Radius des Umkreises: OC = OA = 5 cm.
O ist der Umkreismittelpunkt. Tippe auf einen Radius des Umkreises.
Erklärung: Ein Radius verbindet den Mittelpunkt O mit einer Ecke des Dreiecks: OC. Die Strecke OM geht zur Mitte der Seite AB, MC verbindet Seitenmitte und Ecke; beide sind keine Umkreisradien.
O ist der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks. Es ist OA = 5 cm, und das Lot von O auf die Seite AB ist 3 cm lang. Der Umkreisradius beträgt 3 cm.
Erklärung: Der Umkreisradius ist der Abstand von O zu einer Ecke: OA = 5 cm. Das Lot auf die Seite (3 cm) ist kürzer und kein Radius des Umkreises.
Der Umkreis eines Dreiecks hat den Durchmesser 9 cm. Wie weit ist der Umkreismittelpunkt von einer Ecke entfernt (in cm)?
Erklärung: Der Abstand zu einer Ecke ist der Radius: 9 cm : 2 = 4,5 cm.
Du hast den Umkreismittelpunkt O eines Dreiecks konstruiert. Es ist AB = 5 cm und OB = 3,4 cm. Auf wie viele cm stellst du den Zirkel ein, um den Umkreis zu zeichnen?
Erklärung: Der Kreis muss durch alle Ecken gehen, also ist der Radius der Abstand von O zu einer Ecke: OB = 3,4 cm. Die Seitenlänge AB wird dafür nicht gebraucht.
Ein Dreieck hat die Winkel 40°, 35° und 105°. Wo liegt der Umkreismittelpunkt?
Erklärung: Ein Winkel über 90° (stumpfer Winkel) bedeutet: Der Umkreismittelpunkt liegt außerhalb, auf der anderen Seite der längsten Seite. Nur bei lauter spitzen Winkeln liegt er innen.
Ein Dreieck hat die Winkel 90°, 50° und 40°. Wo liegt der Umkreismittelpunkt?
Erklärung: Bei einem rechten Winkel liegt der Umkreismittelpunkt genau in der Mitte der Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (der Hypotenuse).
Die Mittelsenkrechten eines stumpfwinkligen Dreiecks schneiden sich außerhalb des Dreiecks.
Erklärung: Auch beim stumpfwinkligen Dreieck schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in genau einem Punkt; er liegt nur außerhalb des Dreiecks.
Bei einem Dreieck mit rechtem Winkel liegt der Umkreismittelpunkt in der Mitte der ___.
Erklärung: Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel; in ihrer Mitte liegt der Umkreismittelpunkt.
Die Ecken sind A(0|0), B(10|0) und C(2|3) (y-Achse nach oben). Der Umkreismittelpunkt hat die Koordinaten O(5|y). Berechne y auf zwei Nachkommastellen; ein negativer Wert bedeutet: O liegt unterhalb der Seite AB.
Erklärung: Für O(5|y) gilt OA² = 25 + y² und OC² = 3² + (y − 3)². Gleichsetzen: 25 + y² = 9 + y² − 6y + 9, also 6y = −7 und y ≈ −1,17. O liegt unterhalb von AB, also außerhalb des Dreiecks.
Konstruiere ein Dreieck ABC mit AB = 8 cm, BC = 7 cm und CA = 6 cm und zeichne seinen Umkreis. Schreibe die Konstruktion in nummerierten Schritten auf und begründe, warum sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Zwei Mittelsenkrechte genügen, um O zu finden. Aus OA = OB und OB = OC folgt OA = OC, also liegt O auch auf der dritten Mittelsenkrechten; der Kreis um O mit dem Radius OA geht durch alle drei Ecken.