Der Umkreis

The circumcircle

Mathematik Klasse 7 17 Aufgaben
GeometrieKonstruierenUmkreisMittelsenkrechte

Der Umkreis eines Dreiecks geht durch alle drei Ecken. Sein Mittelpunkt O ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten, denn er hat von A, B und C denselben Abstand (OA = OB = OC = Radius); zwei Mittelsenkrechte genügen, die dritte geht automatisch durch O. Die Station räumt aus, O liege immer im Dreieck oder sei der Schwerpunkt: Bei einem stumpfen Winkel liegt O außen, bei einem rechten in der Mitte der längsten Seite. Sie bereitet den Satz des Thales, seine Umkehrung und die Standortaufgaben (Brunnen, Sendemast) vor.

Drei Mittelsenkrechten, ein Punkt

Drei Dörfer liegen in A, B und C. Wo muss der Brunnen O stehen, damit er von allen dreien gleich weit entfernt ist? Gleich weit von A und B heißt: O liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. Gleich weit von B und C heißt: O liegt auf der Mittelsenkrechten von BC. Beide Geraden schneiden sich in genau einem Punkt, das ist O. Die dritte Mittelsenkrechte geht dann ebenfalls durch O, denn aus und folgt .

Der Kreis um O durch A, B und C heißt Umkreis des Dreiecks. Sein Radius ist der Abstand von O zu einer Ecke.

Gehe mit dem Regler die Schritte durch. Wann steht fest, wo der Brunnen liegt?

Wo liegt der Mittelpunkt?

Senke im Bild die Ecke C mit dem Regler nach unten. Solange alle Winkel spitz sind, liegt O im Dreieck. Wird der Winkel bei C ein rechter, wandert O genau in die Mitte der Seite AB, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Diese Seite heißt Hypotenuse. Bei einem stumpfen Winkel liegt O außerhalb des Dreiecks.

Der Umkreismittelpunkt kann also überall liegen, und die drei Mittelsenkrechten treffen sich trotzdem immer. Nur wenn A, B und C auf einer Geraden liegen, gibt es keinen Umkreis, denn die Mittelsenkrechten sind dann parallel. Der rechte Winkel wird uns gleich wieder begegnen.

Ziehe C mit dem Regler nach oben und unten. Wo liegt O, wenn γ genau 90° ist?

Ermöglicht (1)

Konstruktionen in Sachaufgaben
Klasse 7
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Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Ein Brunnen soll von den drei Dörfern A, B und C gleich weit entfernt sein. Auf welchen Linien liegt er?

  • ● Auf den Mittelsenkrechten von AB und von BC
  • ○ Auf den Winkelhalbierenden bei A und bei B
  • ○ Auf den Höhen von A und von B
Gleich weit von A und B heißt: auf der Mittelsenkrechten von AB; gleich weit von B und C: auf der Mittelsenkrechten von BC. Winkelhalbierende liefern gleichen Abstand zu Seiten, Höhen keinen gleichen Abstand zu Ecken.
Im Bild tippen #2 15s ▶ Testen

Die drei Mittelsenkrechten sind gezeichnet. Tippe auf den Umkreismittelpunkt.

✓ Antwort: P2
Der Umkreismittelpunkt ist der Punkt, in dem sich die drei Mittelsenkrechten schneiden. Hier liegt er außerhalb des Dreiecks. Schwerpunkt und Inkreismittelpunkt liegen innen und auf keiner der Mittelsenkrechten.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Um den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks zu finden, genügen zwei Mittelsenkrechte.

✓ Wahr
Zwei Mittelsenkrechte schneiden sich in genau einem Punkt O. Dort gilt OA = OB und OB = OC, also auch OA = OC: Die dritte Mittelsenkrechte geht automatisch durch O.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Den Umkreismittelpunkt findet man als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

✓ Falsch
Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Inkreismittelpunkt, er hat gleichen Abstand zu den Seiten. Der Umkreismittelpunkt hat gleichen Abstand zu den Ecken: Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Der Umkreismittelpunkt O eines Dreiecks ABC ist von der Ecke A genau 5 cm entfernt. Wie weit ist O von der Ecke C entfernt?

  • ● 5 cm
  • ○ 2,5 cm
  • ○ 10 cm
O hat von allen drei Ecken denselben Abstand, dem Radius des Umkreises: OC = OA = 5 cm.
Im Bild tippen #6 15s ▶ Testen

O ist der Umkreismittelpunkt. Tippe auf einen Radius des Umkreises.

✓ Antwort: OC
Ein Radius verbindet den Mittelpunkt O mit einer Ecke des Dreiecks: OC. Die Strecke OM geht zur Mitte der Seite AB, MC verbindet Seitenmitte und Ecke; beide sind keine Umkreisradien.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

O ist der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks. Es ist OA = 5 cm, und das Lot von O auf die Seite AB ist 3 cm lang. Der Umkreisradius beträgt 3 cm.

✓ Falsch
Der Umkreisradius ist der Abstand von O zu einer Ecke: OA = 5 cm. Das Lot auf die Seite (3 cm) ist kürzer und kein Radius des Umkreises.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Winkel 40°, 35° und 105°. Wo liegt der Umkreismittelpunkt?

  • ● Außerhalb des Dreiecks
  • ○ Im Inneren des Dreiecks
  • ○ In der Mitte der längsten Seite
Ein Winkel über 90° (stumpfer Winkel) bedeutet: Der Umkreismittelpunkt liegt außerhalb, auf der anderen Seite der längsten Seite. Nur bei lauter spitzen Winkeln liegt er innen.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Winkel 90°, 50° und 40°. Wo liegt der Umkreismittelpunkt?

  • ● In der Mitte der längsten Seite
  • ○ Im Inneren, aber auf keiner Seite
  • ○ Außerhalb des Dreiecks
Bei einem rechten Winkel liegt der Umkreismittelpunkt genau in der Mitte der Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (der Hypotenuse).
Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Die Mittelsenkrechten eines stumpfwinkligen Dreiecks schneiden sich außerhalb des Dreiecks.

✓ Wahr
Auch beim stumpfwinkligen Dreieck schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in genau einem Punkt; er liegt nur außerhalb des Dreiecks.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der drei ___.

✓ Antwort: Mittelsenkrechten
Der Umkreismittelpunkt ist von allen drei Ecken gleich weit entfernt, deshalb liegt er auf den drei Mittelsenkrechten der Seiten.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Der Umkreis eines Dreiecks hat den Durchmesser 9 cm. Wie weit ist der Umkreismittelpunkt von einer Ecke entfernt (in cm)?

✓ Antwort: 4.5
Der Abstand zu einer Ecke ist der Radius: 9 cm : 2 = 4,5 cm.
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Bei einem Dreieck mit rechtem Winkel liegt der Umkreismittelpunkt in der Mitte der ___.

✓ Antwort: Hypotenuse
Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel; in ihrer Mitte liegt der Umkreismittelpunkt.
Schwer
Zahleneingabe #1 60s ▶ Testen

Die Ecken sind A(0|0), B(8|0) und C(2|6). Der Punkt O(4|y) ist von A, B und C gleich weit entfernt. Berechne y.

✓ Antwort: 2
Die Mittelsenkrechte von AB ist die Gerade x = 4. Für O(4|y) gilt OA² = 16 + y² und OC² = 2² + (y − 6)². Gleichsetzen: 16 + y² = 4 + y² − 12y + 36, also 12y = 24 und y = 2.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Du hast den Umkreismittelpunkt O eines Dreiecks konstruiert. Es ist AB = 5 cm und OB = 3,4 cm. Auf wie viele cm stellst du den Zirkel ein, um den Umkreis zu zeichnen?

✓ Antwort: 3.4
Der Kreis muss durch alle Ecken gehen, also ist der Radius der Abstand von O zu einer Ecke: OB = 3,4 cm. Die Seitenlänge AB wird dafür nicht gebraucht.
Zahleneingabe #3 60s ▶ Testen

Die Ecken sind A(0|0), B(10|0) und C(2|3) (y-Achse nach oben). Der Umkreismittelpunkt hat die Koordinaten O(5|y). Berechne y auf zwei Nachkommastellen; ein negativer Wert bedeutet: O liegt unterhalb der Seite AB.

✓ Antwort: -1.17
Für O(5|y) gilt OA² = 25 + y² und OC² = 3² + (y − 3)². Gleichsetzen: 25 + y² = 9 + y² − 6y + 9, also 6y = −7 und y ≈ −1,17. O liegt unterhalb von AB, also außerhalb des Dreiecks.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Konstruiere ein Dreieck ABC mit AB = 8 cm, BC = 7 cm und CA = 6 cm und zeichne seinen Umkreis. Schreibe die Konstruktion in nummerierten Schritten auf und begründe, warum sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Dreieck: AB = 8 cm zeichnen, Kreis um A mit r = 6 cm, Kreis um B mit r = 7 cm, Schnittpunkt C. Mittelsenkrechte von AB und von BC mit Zirkel (gleicher Radius um beide Endpunkte) zeichnen, Schnittpunkt O. Umkreis um O durch A. Begründung: O liegt auf m(AB), also OA = OB; O liegt auf m(BC), also OB = OC. Damit OA = OC, O liegt auf m(CA): Alle drei Mittelsenkrechten gehen durch O, OA = OB = OC = Radius.
Zwei Mittelsenkrechte genügen, um O zu finden. Aus OA = OB und OB = OC folgt OA = OC, also liegt O auch auf der dritten Mittelsenkrechten; der Kreis um O mit dem Radius OA geht durch alle drei Ecken.