Sinus mit linearem Argument
Welche Ableitung hat f(x) = sin(3x)?
Erklärung: Innere Funktion g(x) = 3x mit g′ = 3, äußere Funktion sin mit Ableitung cos: f′(x) = cos(3x)·3. Ohne den Faktor 3 fehlt die innere Ableitung; 3·cos x setzt 3 vor, verliert aber das Argument 3x.
Für f(x) = sin(2x) gilt f′(x) = cos(2x).
Erklärung: Falsch: Es fehlt die innere Ableitung 2. Richtig ist f′(x) = 2·cos(2x). Kontrolle bei x = 0: sin(2x) steigt doppelt so steil wie sin x, die Steigung ist 2, nicht 1.
Die Abbildung zeigt die Kurve y = sin(2x) mit dem Punkt P im Ursprung. Welche Steigung hat sie in P?
Erklärung: f′(x) = 2·cos(2x), also f′(0) = 2·cos 0 = 2. Die Kurve ist waagrecht auf die Hälfte gestaucht und steigt deshalb doppelt so steil wie sin x, dessen Steigung bei 0 gleich 1 ist. Der Wert 0 wäre die Höhe von P.
Welche Ableitung hat f(x) = cos(4x)?
Erklärung: Äußere Ableitung von cos ist −sin, innere Ableitung von 4x ist 4: f′(x) = −sin(4x)·4 = −4·sin(4x). Bei f′ = 4·sin(4x) geht das Minus verloren, bei −sin(4x) der Faktor 4.
Berechne f′(0) für f(x) = sin(5x).
Erklärung: f′(x) = 5·cos(5x), also f′(0) = 5·cos 0 = 5.
Berechne f′(π/6) für f(x) = sin(2x) (Bogenmaß).
Erklärung: f′(x) = 2·cos(2x). Bei x = π/6 ist 2x = π/3, also f′(π/6) = 2·cos(π/3) = 2·0,5 = 1.
Berechne f′(π/6) für f(x) = cos(3x) (Bogenmaß).
Erklärung: f′(x) = −3·sin(3x). Bei x = π/6 ist 3x = π/2, also f′(π/6) = −3·sin(π/2) = −3.
Welche Ableitung hat f(x) = sin(x + 2)?
Erklärung: Die innere Funktion x + 2 hat die Ableitung 1, es entsteht kein Faktor. Der Summand 2 bleibt im Argument: f′(x) = cos(x + 2). Ein Faktor 2 (aus dem Summanden) oder das Weglassen der Verschiebung sind die typischen Fehler.
Für f(x) = sin(x − π/3) gilt f′(x) = cos(x − π/3).
Erklärung: Die innere Ableitung von x − π/3 ist 1. Also f′(x) = cos(x − π/3): Die Ableitung ist wie die Funktion um π/3 nach rechts verschoben.
Welche Steigung hat f(x) = sin(x + π/2) an der Stelle x = 0?
Erklärung: f′(x) = cos(x + π/2), also f′(0) = cos(π/2) = 0. Die Steigung 1 entstünde, wenn man die Verschiebung π/2 im Argument vergisst (cos 0 = 1).
Berechne f′(1) für f(x) = sin(x − 1).
Erklärung: f′(x) = cos(x − 1), also f′(1) = cos 0 = 1.
Berechne f′(π/6) für f(x) = sin(x + π/6) (Bogenmaß).
Erklärung: f′(x) = cos(x + π/6). Bei x = π/6 ist das Argument π/3, also f′(π/6) = cos(π/3) = 0,5.
Welche Ableitung hat f(x) = 2·sin(3x) + 5?
Erklärung: Der Faktor 2 bleibt, die innere Ableitung 3 kommt dazu: 2·3 = 6. Die Konstante +5 hat die Ableitung 0 und fällt weg. Bei 6·cos(3x) + 5 bleibt sie fälschlich stehen, bei 2·cos(3x) fehlt die innere Ableitung.
Die Kurven y = sin x und y = sin x + 4 haben an der Stelle x = 1 dieselbe Steigung.
Erklärung: Die Kurve y = sin x + 4 ist die um 4 nach oben verschobene Sinuskurve. Beim Verschieben ändert sich keine Steigung, denn (sin x + 4)′ = cos x + 0.
Die Abbildung zeigt y = 3·sin x. Wie groß ist die größte Steigung dieser Kurve?
Erklärung: f′(x) = 3·cos x. Der Kosinus wird höchstens 1, also ist die größte Steigung 3·1 = 3 (an den Nullstellen). Die Steigung 1 hat die Kurve y = sin x, nicht y = 3·sin x.
Berechne f′(0) für f(x) = 4·sin(2x) − 1.
Erklärung: f′(x) = 4·2·cos(2x) = 8·cos(2x); der Summand −1 fällt weg. Bei x = 0 ist f′(0) = 8·cos 0 = 8.
Berechne f′(π/4) für f(x) = 3·cos(2x) + 1 (Bogenmaß).
Erklärung: f′(x) = −3·2·sin(2x) = −6·sin(2x). Bei x = π/4 ist 2x = π/2, also f′(π/4) = −6·sin(π/2) = −6.
Leite f(x) = 3·sin(2x − 1) + 4 ab. Benenne die innere und die äußere Funktion, gib deren Ableitungen an und setze f′(x) zusammen. Berechne dann f′(0,5). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Kettenregel: f′(x) = 3·cos(2x − 1)·2 = 6·cos(2x − 1). Bei x = 0,5 verschwindet das Argument, cos 0 = 1, also f′(0,5) = 6.