Sinus mit linearem Argument

Sine with a linear argument

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

AnalysisAbleitungenKettenregel

Steht im Sinus statt x ein linearer Term bx + c, greift die Kettenregel: (sin(bx))′ = b·cos(bx), und für a·sin(bx + c) + d gilt f′(x) = a·b·cos(bx + c). Der Abschnitt räumt drei Fehler aus: die innere Ableitung b wird vergessen, die Verschiebung c erscheint als Faktor oder wandert aus dem Argument, und die Konstante d bleibt in der Ableitung stehen. Er bereitet die Summen und Produkte mit linearen Termen und die Geschwindigkeit s′(t) = A·ω·cos(ωt) beim Pendel vor.

Der Faktor b

Bisher stand im Sinus nur x. Was ändert sich bei $sin (b x)$ , etwa bei $sin (2 x)$ ? Die Kurve wird waagrecht um den Faktor b gestaucht, ihre Periode ist $2 π / b$ . Gestaucht heißt: Sie steigt b-mal so steil. Bei $x = 0$ hat $sin (b x)$ die Steigung b, nicht 1.

Das ist die Kettenregel: Die innere Funktion $g (x) = b x$ hat die Ableitung $g^{'} (x) = b$ , die äußere Funktion Sinus die Ableitung Kosinus. Also

$(sin (b x))^{'} = b \cdot cos (b x), (cos (b x))^{'} = - b \cdot sin (b x)$

Der häufigste Fehler ist, den Faktor b zu vergessen und $cos (b x)$ stehen zu lassen. Zum Beispiel hat $sin (2 x)$ bei $x = \frac{π}{6}$ die Steigung $2 cos \frac{π}{3} = 1$ . Kontrolliere den Faktor an der Steigung im Bild.

Ändere b und ziehe x₀: Welche Zahl stimmt immer mit der Steigung überein?

Verschieben, strecken, anheben

Bei $sin (x + c)$ ist die innere Funktion $x + c$ mit der Ableitung 1: Es entsteht kein Faktor, und die Verschiebung bleibt im Argument. Es gilt $(sin (x + c))^{'} = cos (x + c)$ ; die Ableitung ist wie die Funktion verschoben. Der Faktor a streckt die Kurve in y-Richtung, alle Steigungen werden a-mal so groß. Die Konstante d hebt die Kurve nur an und fällt beim Ableiten weg.

Alles zusammen: $f (x) = a \cdot sin (b x + c) + d$ hat die Ableitung $f^{'} (x) = a \cdot b \cdot cos (b x + c)$ . Zum Beispiel ist für $f (x) = 2 sin (3 x) + 5$ die Ableitung $f^{'} (x) = 6 cos (3 x)$ . Weder die Verschiebung c noch die Konstante d taucht als Faktor auf.

Ändere a, c und d und beobachte, welcher der Regler die Steigung im Punkt P nie verändert.

Voraussetzungen (1)

Die Ableitung von cos

Klasse 12

›

Ermöglicht (1)

Schwingungen untersuchen

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = sin(3x)?

● f′(x) = 3·cos(3x)
○ f′(x) = cos(3x)
○ f′(x) = 3·cos x

Innere Funktion g(x) = 3x mit g′ = 3, äußere Funktion sin mit Ableitung cos: f′(x) = cos(3x)·3. Ohne den Faktor 3 fehlt die innere Ableitung; 3·cos x setzt 3 vor, verliert aber das Argument 3x.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Für f(x) = sin(2x) gilt f′(x) = cos(2x).

✓ Falsch

Falsch: Es fehlt die innere Ableitung 2. Richtig ist f′(x) = 2·cos(2x). Kontrolle bei x = 0: sin(2x) steigt doppelt so steil wie sin x, die Steigung ist 2, nicht 1.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt die Kurve y = sin(2x) mit dem Punkt P im Ursprung. Welche Steigung hat sie in P?

● 2
○ 1
○ 0

f′(x) = 2·cos(2x), also f′(0) = 2·cos 0 = 2. Die Kurve ist waagrecht auf die Hälfte gestaucht und steigt deshalb doppelt so steil wie sin x, dessen Steigung bei 0 gleich 1 ist. Der Wert 0 wäre die Höhe von P.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = cos(4x)?

● f′(x) = −4·sin(4x)
○ f′(x) = 4·sin(4x)
○ f′(x) = −sin(4x)

Äußere Ableitung von cos ist −sin, innere Ableitung von 4x ist 4: f′(x) = −sin(4x)·4 = −4·sin(4x). Bei f′ = 4·sin(4x) geht das Minus verloren, bei −sin(4x) der Faktor 4.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = sin(x + 2)?

● f′(x) = cos(x + 2)
○ f′(x) = 2·cos(x + 2)
○ f′(x) = cos x

Die innere Funktion x + 2 hat die Ableitung 1, es entsteht kein Faktor. Der Summand 2 bleibt im Argument: f′(x) = cos(x + 2). Ein Faktor 2 (aus dem Summanden) oder das Weglassen der Verschiebung sind die typischen Fehler.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Für f(x) = sin(x − π/3) gilt f′(x) = cos(x − π/3).

✓ Wahr

Die innere Ableitung von x − π/3 ist 1. Also f′(x) = cos(x − π/3): Die Ableitung ist wie die Funktion um π/3 nach rechts verschoben.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Welche Steigung hat f(x) = sin(x + π/2) an der Stelle x = 0?

● 0
○ 1
○ −1

f′(x) = cos(x + π/2), also f′(0) = cos(π/2) = 0. Die Steigung 1 entstünde, wenn man die Verschiebung π/2 im Argument vergisst (cos 0 = 1).

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = 2·sin(3x) + 5?

● f′(x) = 6·cos(3x)
○ f′(x) = 6·cos(3x) + 5
○ f′(x) = 2·cos(3x)

Der Faktor 2 bleibt, die innere Ableitung 3 kommt dazu: 2·3 = 6. Die Konstante +5 hat die Ableitung 0 und fällt weg. Bei 6·cos(3x) + 5 bleibt sie fälschlich stehen, bei 2·cos(3x) fehlt die innere Ableitung.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Die Kurven y = sin x und y = sin x + 4 haben an der Stelle x = 1 dieselbe Steigung.

✓ Wahr

Die Kurve y = sin x + 4 ist die um 4 nach oben verschobene Sinuskurve. Beim Verschieben ändert sich keine Steigung, denn (sin x + 4)′ = cos x + 0.

Multiple Choice #10 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt y = 3·sin x. Wie groß ist die größte Steigung dieser Kurve?

● 3
○ 1
○ 0

f′(x) = 3·cos x. Der Kosinus wird höchstens 1, also ist die größte Steigung 3·1 = 3 (an den Nullstellen). Die Steigung 1 hat die Kurve y = sin x, nicht y = 3·sin x.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne f′(0) für f(x) = sin(5x).

✓ Antwort: 5

f′(x) = 5·cos(5x), also f′(0) = 5·cos 0 = 5.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne f′(1) für f(x) = sin(x − 1).

✓ Antwort: 1

f′(x) = cos(x − 1), also f′(1) = cos 0 = 1.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne f′(0) für f(x) = 4·sin(2x) − 1.

✓ Antwort: 8

f′(x) = 4·2·cos(2x) = 8·cos(2x); der Summand −1 fällt weg. Bei x = 0 ist f′(0) = 8·cos 0 = 8.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne f′(π/6) für f(x) = sin(2x) (Bogenmaß).

✓ Antwort: 1

f′(x) = 2·cos(2x). Bei x = π/6 ist 2x = π/3, also f′(π/6) = 2·cos(π/3) = 2·0,5 = 1.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne f′(π/6) für f(x) = cos(3x) (Bogenmaß).

✓ Antwort: -3

f′(x) = −3·sin(3x). Bei x = π/6 ist 3x = π/2, also f′(π/6) = −3·sin(π/2) = −3.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne f′(π/6) für f(x) = sin(x + π/6) (Bogenmaß).

✓ Antwort: 0.5

f′(x) = cos(x + π/6). Bei x = π/6 ist das Argument π/3, also f′(π/6) = cos(π/3) = 0,5.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne f′(π/4) für f(x) = 3·cos(2x) + 1 (Bogenmaß).

✓ Antwort: -6

f′(x) = −3·2·sin(2x) = −6·sin(2x). Bei x = π/4 ist 2x = π/2, also f′(π/4) = −6·sin(π/2) = −6.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Leite f(x) = 3·sin(2x − 1) + 4 ab. Benenne die innere und die äußere Funktion, gib deren Ableitungen an und setze f′(x) zusammen. Berechne dann f′(0,5). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Innere Funktion g(x) = 2x − 1 mit g′(x) = 2; äußere Funktion 3·sin(u) + 4 mit Ableitung 3·cos(u). f′(x) = 3·cos(2x − 1)·2 = 6·cos(2x − 1). Die Konstante +4 fällt weg. Bei x = 0,5 ist 2x − 1 = 0, also f′(0,5) = 6·cos 0 = 6.

Kettenregel: f′(x) = 3·cos(2x − 1)·2 = 6·cos(2x − 1). Bei x = 0,5 verschwindet das Argument, cos 0 = 1, also f′(0,5) = 6.