Schwingungen untersuchen
Ein Pendel schwingt nach s(t) = 4·sin(3t) (s in cm, t in s). Welche Geschwindigkeit hat es zur Zeit t?
Erklärung: Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Auslenkung: (4·sin(3t))′ = 4·cos(3t)·3 = 12·cos(3t). Bei 4·cos(3t) fehlt die innere Ableitung 3, bei 12·sin(3t) wurde der Sinus nicht zum Kosinus.
Für s(t) = 5·sin(2t) gilt v(t) = 10·cos(2t).
Erklärung: v(t) = s′(t) = 5·cos(2t)·2 = 10·cos(2t): Amplitude mal ω ergibt den Faktor 10.
Ein Pendel schwingt nach s(t) = 4·sin(3t) (s in cm, t in s). Berechne die Geschwindigkeit v(0) in cm/s.
Erklärung: v(t) = 12·cos(3t), also v(0) = 12·cos 0 = 12 cm/s.
Ein Pendel schwingt nach s(t) = 4·sin(3t) (s in cm, t in s). Berechne die Geschwindigkeit zur Zeit t = π/9 s in cm/s.
Erklärung: v(t) = 12·cos(3t). Bei t = π/9 ist 3t = π/3, also v = 12·cos(π/3) = 12·0,5 = 6 cm/s.
Die Auslenkung des Pendels s(t) = 4·sin(3t) erreicht ihr Maximum 4 cm. Welche Geschwindigkeit hat das Pendel in diesem Moment?
Erklärung: Im Umkehrpunkt ist die Tangente an die Kurve s(t) waagrecht, die Steigung — also die Geschwindigkeit — ist 0. Die 12 cm/s sind die Höchstgeschwindigkeit in der Gleichgewichtslage, 4 cm ist die Auslenkung, keine Geschwindigkeit.
In der Gleichgewichtslage (s = 0) ist die Geschwindigkeit des Pendels null.
Erklärung: Falsch: In der Gleichgewichtslage verläuft die Kurve s(t) am steilsten, die Geschwindigkeit hat dort ihren größten Betrag. Null ist sie im Umkehrpunkt, bei größter Auslenkung.
In welchem der drei markierten Zeitpunkte bewegt sich das Pendel am schnellsten?
Erklärung: B liegt beim Nulldurchgang, also in der Gleichgewichtslage: Die Kurve ist dort am steilsten, |v| = 12 cm/s. A liegt auf dem Hochpunkt (v = 0), C dazwischen (|v| ≈ 7,5 cm/s).
Ein Pendel schwingt nach s(t) = 2,5·sin(4t) (s in cm, t in s). Wie groß ist seine Höchstgeschwindigkeit in cm/s?
Erklärung: v(t) = 2,5·4·cos(4t) = 10·cos(4t). Der Kosinus wird höchstens 1, also ist die Höchstgeschwindigkeit 10 cm/s.
Ein Pendel schwingt nach s(t) = 4·sin(3t) (t in s). Zu welcher Zeit t > 0 steht es erstmals still? Gib t auf 2 Dezimalen an.
Erklärung: Es steht still, wenn v(t) = 12·cos(3t) = 0 gilt. Die kleinste positive Lösung ist 3t = π/2, also t = π/6 ≈ 0,52 s.
Ein Pendel schwingt nach s(t) = 4·sin(3t). Welche Beschleunigung hat es (a = s″)?
Erklärung: v(t) = 12·cos(3t), also a(t) = v′(t) = −12·sin(3t)·3 = −36·sin(3t). Bei −12·sin(3t) fehlt die zweite innere Ableitung 3, bei 36·sin(3t) das Minus.
Ein Pendel schwingt nach s(t) = 5·sin(2t). Wie hängen Beschleunigung und Auslenkung zusammen?
Erklärung: a(t) = −5·4·sin(2t) = −4·(5·sin(2t)) = −4·s(t). Der Faktor ist ω² = 4, nicht ω = 2, und er ist negativ: Die Beschleunigung zeigt zur Gleichgewichtslage.
Ein Pendel schwingt nach s(t) = 4·sin(3t) (s in cm, t in s). Berechne die Beschleunigung a(π/6) in cm/s².
Erklärung: a(t) = −36·sin(3t). Bei t = π/6 ist 3t = π/2, also a = −36·1 = −36 cm/s². Im Umkehrpunkt ist die Beschleunigung am größten.
Ein Pendel schwingt nach s(t) = A·sin(ωt) mit ω = 5 (1/s). Zu einem Zeitpunkt beträgt die Auslenkung s = 0,2 m. Wie groß ist die Beschleunigung in m/s² zu diesem Zeitpunkt?
Erklärung: Aus s = A·sin(ωt) folgt a = s″ = −ω²·s = −25·0,2 = −5 m/s². Das Minus heißt: Die Beschleunigung zeigt zur Gleichgewichtslage.
Ein Federpendel schwingt nach s(t) = 6·sin(2t) (s in cm, t in s). Bestimme v(t) und a(t). Berechne, wann das Pendel erstmals für einen Augenblick stillsteht und wie groß dann s ist, und gib die Höchstgeschwindigkeit an. Zeige außerdem, dass a(t) = −4·s(t) gilt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Mit ω = 2 und A = 6: v = A·ω·cos(ωt) = 12·cos(2t), a = −A·ω²·sin(ωt) = −ω²·s = −4·s. Im Umkehrpunkt ist s = ±6 cm und v = 0.
Zwei Pendel schwingen mit s₁(t) = 4·sin(3t) und s₂(t) = 4·sin(6t) (in cm). Welches hat die größere Höchstgeschwindigkeit?
Erklärung: v_max = A·ω: Pendel 1 hat 4·3 = 12 cm/s, Pendel 2 hat 4·6 = 24 cm/s. Die Amplituden sind gleich, aber Pendel 2 durchläuft dieselbe Strecke in halber Zeit.
Ein Pendel schwingt nach s(t) = 3·sin(2t) (in cm und s). Ändert man es so, dass es nach s(t) = 3·sin(4t) schwingt, verdoppelt sich seine Höchstgeschwindigkeit.
Erklärung: v_max = A·ω: vorher 3·2 = 6 cm/s, nachher 3·4 = 12 cm/s. Die Amplitude bleibt 3 cm, ω verdoppelt sich, also verdoppelt sich v_max.
Ein Pendel schwingt nach s(t) = 3·sin(5t) (in cm und s). Wie groß ist seine Höchstgeschwindigkeit in cm/s?
Erklärung: v_max = A·ω = 3·5 = 15 cm/s.
Ein Pendel mit der Amplitude 5 cm hat die Höchstgeschwindigkeit 20 cm/s. Wie groß ist ω in 1/s?
Erklärung: v_max = A·ω, also 20 = 5·ω und ω = 4 (1/s).