Schwingungen untersuchen

Investigating oscillations

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

AnalysisAbleitungenSchwingung

Für ein Pendel mit s(t) = A·sin(ωt) ist die Geschwindigkeit die Ableitung v(t) = A·ω·cos(ωt) und die Beschleunigung die zweite Ableitung a(t) = −A·ω²·sin(ωt) = −ω²·s(t). Der Abschnitt räumt die Verwechslung von Auslenkung und Geschwindigkeit aus (im Umkehrpunkt ist v = 0, in der Gleichgewichtslage |v| am größten), zeigt das Vorzeichen der Beschleunigung, die Wirkung von ω auf die Höchstgeschwindigkeit und die Grenze des Modells: Ein echtes Pendel wird gedämpft. Er bereitet die Modellierung periodischer Vorgänge in der Jahrgangsstufe 13 und die Schwingungen in der Physik vor.

Auslenkung und Geschwindigkeit

Das Pendel aus dem Einstieg schwingt nach $s (t) = 4 sin (3 t)$ (s in cm, t in s). Wie schnell ist es zur Zeit t? Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderungsrate der Auslenkung, also die Steigung der s-Kurve. Mit der Kettenregel gilt

$v (t) = s^{'} (t) = 4 \cdot 3 \cdot cos (3 t) = 12 cos (3 t)$

Der Faktor 12 ist Amplitude mal ω. Im Umkehrpunkt (größte Auslenkung 4 cm bei $t = \frac{π}{6} \approx 0, 52$ s) liegt die Tangente waagrecht: $v = 0$ , das Pendel steht einen Augenblick still. Am schnellsten ist es in der Gleichgewichtslage $s = 0$ , dort ist die Kurve am steilsten und $∣ v ∣ = 12$ cm/s. Nicht die größte Auslenkung, sondern der Nulldurchgang liefert also die größte Geschwindigkeit — wie schon beim Sinus: Höhe und Steigung sind verschieden.

Ziehe t und finde, wann das Pendel stillsteht und wann es am schnellsten ist.

Beschleunigung und Modell

Die Beschleunigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit, also die zweite Ableitung der Auslenkung: $a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t) = - 36 sin (3 t) = - 9 s (t)$ . Allgemein gilt für $s (t) = A sin (ω t)$

$v (t) = A ω cos (ω t), a (t) = - A ω^{2} sin (ω t) = - ω^{2} s (t)$

Das Minus zeigt: Die Beschleunigung ist der Auslenkung entgegengerichtet, sie zieht zur Gleichgewichtslage zurück. Ein größeres ω bei gleicher Amplitude macht die Schwingung schneller: Die Höchstgeschwindigkeit ist $v_{m a x} = A ω$ . Grenze des Modells: Es schwingt ewig mit gleicher Amplitude; ein echtes Pendel wird durch Reibung gedämpft und kommt zur Ruhe. Das Modell taugt nur für kurze Zeit.

Ändere ω und A und vergleiche die Höchstwerte der grünen und der blauen Kurve.

Voraussetzungen (1)

Sinus mit linearem Argument

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Ein Pendel schwingt nach s(t) = 4·sin(3t) (s in cm, t in s). Welche Geschwindigkeit hat es zur Zeit t?

● v(t) = 12·cos(3t) cm/s
○ v(t) = 4·cos(3t) cm/s
○ v(t) = 12·sin(3t) cm/s

Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Auslenkung: (4·sin(3t))′ = 4·cos(3t)·3 = 12·cos(3t). Bei 4·cos(3t) fehlt die innere Ableitung 3, bei 12·sin(3t) wurde der Sinus nicht zum Kosinus.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Für s(t) = 5·sin(2t) gilt v(t) = 10·cos(2t).

✓ Wahr

v(t) = s′(t) = 5·cos(2t)·2 = 10·cos(2t): Amplitude mal ω ergibt den Faktor 10.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Die Auslenkung des Pendels s(t) = 4·sin(3t) erreicht ihr Maximum 4 cm. Welche Geschwindigkeit hat das Pendel in diesem Moment?

● 0 cm/s
○ 12 cm/s
○ 4 cm/s

Im Umkehrpunkt ist die Tangente an die Kurve s(t) waagrecht, die Steigung — also die Geschwindigkeit — ist 0. Die 12 cm/s sind die Höchstgeschwindigkeit in der Gleichgewichtslage, 4 cm ist die Auslenkung, keine Geschwindigkeit.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

In der Gleichgewichtslage (s = 0) ist die Geschwindigkeit des Pendels null.

✓ Falsch

Falsch: In der Gleichgewichtslage verläuft die Kurve s(t) am steilsten, die Geschwindigkeit hat dort ihren größten Betrag. Null ist sie im Umkehrpunkt, bei größter Auslenkung.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

In welchem der drei markierten Zeitpunkte bewegt sich das Pendel am schnellsten?

● B
○ A
○ C

B liegt beim Nulldurchgang, also in der Gleichgewichtslage: Die Kurve ist dort am steilsten, |v| = 12 cm/s. A liegt auf dem Hochpunkt (v = 0), C dazwischen (|v| ≈ 7,5 cm/s).

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Ein Pendel schwingt nach s(t) = 4·sin(3t). Welche Beschleunigung hat es (a = s″)?

● a(t) = −36·sin(3t)
○ a(t) = −12·sin(3t)
○ a(t) = 36·sin(3t)

v(t) = 12·cos(3t), also a(t) = v′(t) = −12·sin(3t)·3 = −36·sin(3t). Bei −12·sin(3t) fehlt die zweite innere Ableitung 3, bei 36·sin(3t) das Minus.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Ein Pendel schwingt nach s(t) = 5·sin(2t). Wie hängen Beschleunigung und Auslenkung zusammen?

● a(t) = −4·s(t)
○ a(t) = −2·s(t)
○ a(t) = 4·s(t)

a(t) = −5·4·sin(2t) = −4·(5·sin(2t)) = −4·s(t). Der Faktor ist ω² = 4, nicht ω = 2, und er ist negativ: Die Beschleunigung zeigt zur Gleichgewichtslage.

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Zwei Pendel schwingen mit s₁(t) = 4·sin(3t) und s₂(t) = 4·sin(6t) (in cm). Welches hat die größere Höchstgeschwindigkeit?

● Pendel 2
○ Pendel 1
○ beide gleich

v_max = A·ω: Pendel 1 hat 4·3 = 12 cm/s, Pendel 2 hat 4·6 = 24 cm/s. Die Amplituden sind gleich, aber Pendel 2 durchläuft dieselbe Strecke in halber Zeit.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Ein Pendel schwingt nach s(t) = 3·sin(2t) (in cm und s). Ändert man es so, dass es nach s(t) = 3·sin(4t) schwingt, verdoppelt sich seine Höchstgeschwindigkeit.

✓ Wahr

v_max = A·ω: vorher 3·2 = 6 cm/s, nachher 3·4 = 12 cm/s. Die Amplitude bleibt 3 cm, ω verdoppelt sich, also verdoppelt sich v_max.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Pendel schwingt nach s(t) = 4·sin(3t) (s in cm, t in s). Berechne die Geschwindigkeit v(0) in cm/s.

✓ Antwort: 12

v(t) = 12·cos(3t), also v(0) = 12·cos 0 = 12 cm/s.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Pendel schwingt nach s(t) = 2,5·sin(4t) (s in cm, t in s). Wie groß ist seine Höchstgeschwindigkeit in cm/s?

✓ Antwort: 10

v(t) = 2,5·4·cos(4t) = 10·cos(4t). Der Kosinus wird höchstens 1, also ist die Höchstgeschwindigkeit 10 cm/s.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Pendel schwingt nach s(t) = 4·sin(3t) (s in cm, t in s). Berechne die Beschleunigung a(π/6) in cm/s².

✓ Antwort: -36

a(t) = −36·sin(3t). Bei t = π/6 ist 3t = π/2, also a = −36·1 = −36 cm/s². Im Umkehrpunkt ist die Beschleunigung am größten.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Ein Pendel schwingt nach s(t) = 3·sin(5t) (in cm und s). Wie groß ist seine Höchstgeschwindigkeit in cm/s?

✓ Antwort: 15

v_max = A·ω = 3·5 = 15 cm/s.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Pendel schwingt nach s(t) = 4·sin(3t) (s in cm, t in s). Berechne die Geschwindigkeit zur Zeit t = π/9 s in cm/s.

✓ Antwort: 6

v(t) = 12·cos(3t). Bei t = π/9 ist 3t = π/3, also v = 12·cos(π/3) = 12·0,5 = 6 cm/s.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Pendel schwingt nach s(t) = 4·sin(3t) (t in s). Zu welcher Zeit t > 0 steht es erstmals still? Gib t auf 2 Dezimalen an.

✓ Antwort: 0.523599

Es steht still, wenn v(t) = 12·cos(3t) = 0 gilt. Die kleinste positive Lösung ist 3t = π/2, also t = π/6 ≈ 0,52 s.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Pendel schwingt nach s(t) = A·sin(ωt) mit ω = 5 (1/s). Zu einem Zeitpunkt beträgt die Auslenkung s = 0,2 m. Wie groß ist die Beschleunigung in m/s² zu diesem Zeitpunkt?

✓ Antwort: -5

Aus s = A·sin(ωt) folgt a = s″ = −ω²·s = −25·0,2 = −5 m/s². Das Minus heißt: Die Beschleunigung zeigt zur Gleichgewichtslage.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Ein Federpendel schwingt nach s(t) = 6·sin(2t) (s in cm, t in s). Bestimme v(t) und a(t). Berechne, wann das Pendel erstmals für einen Augenblick stillsteht und wie groß dann s ist, und gib die Höchstgeschwindigkeit an. Zeige außerdem, dass a(t) = −4·s(t) gilt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: v(t) = s′(t) = 12·cos(2t) cm/s; a(t) = v′(t) = −24·sin(2t) cm/s². Stillstand: v = 0 ⇒ cos(2t) = 0 ⇒ 2t = π/2 ⇒ t = π/4 ≈ 0,79 s; dann s(π/4) = 6·sin(π/2) = 6 cm. Höchstgeschwindigkeit: |v| ≤ 12, also 12 cm/s in der Gleichgewichtslage. a(t) = −24·sin(2t) = −4·(6·sin(2t)) = −4·s(t).

Mit ω = 2 und A = 6: v = A·ω·cos(ωt) = 12·cos(2t), a = −A·ω²·sin(ωt) = −ω²·s = −4·s. Im Umkehrpunkt ist s = ±6 cm und v = 0.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Ein Pendel mit der Amplitude 5 cm hat die Höchstgeschwindigkeit 20 cm/s. Wie groß ist ω in 1/s?

✓ Antwort: 4

v_max = A·ω, also 20 = 5·ω und ω = 4 (1/s).