Steigung ablesen
Die Abbildung zeigt die Sinuskurve mit dem Punkt P bei x = 2,5. Welches Vorzeichen hat die Steigung der Kurve in P?
Erklärung: Zwischen dem Hochpunkt bei π/2 ≈ 1,57 und dem Tiefpunkt bei 3π/2 ≈ 4,71 fällt die Kurve. Bei x = 2,5 ist die Tangente also fallend, die Steigung negativ — obwohl der Funktionswert positiv ist.
Die Abbildung zeigt die Sinuskurve mit dem Punkt P bei x = 5,5. Welches Vorzeichen hat die Steigung der Kurve in P?
Erklärung: Ab dem Tiefpunkt bei 3π/2 ≈ 4,71 steigt die Kurve wieder. Bei x = 5,5 ist die Tangente steigend, die Steigung positiv — obwohl der Funktionswert negativ ist.
Ãœberall dort, wo die Sinuskurve unter der x-Achse liegt, ist ihre Steigung negativ.
Erklärung: Falsch: Bei x = 5,5 liegt die Kurve unter der x-Achse, sie steigt dort aber. Das Vorzeichen der Steigung folgt dem Steigen und Fallen, nicht dem Vorzeichen des Funktionswerts.
Am Hochpunkt der Sinuskurve hat die Tangente die Steigung ___
Erklärung: Am Hochpunkt geht das Steigen in Fallen über. Die Tangente liegt dort waagrecht, ihre Steigung ist 0.
Für wie viele der Stellen x = 0,5; 2; 3,5 und 5 hat die Sinuskurve eine positive Steigung?
Erklärung: Die Kurve steigt auf [0; π/2] und auf [3π/2; 2π] ≈ [4,71; 6,28]. Dort liegen x = 0,5 und x = 5. Bei x = 2 und x = 3,5 fällt sie. Also 2 Stellen.
Die Sinuskurve steigt von x = 0 bis x = π/2. An welcher der drei Stellen steigt sie am stärksten?
Erklärung: Bei x = 0 geht die Kurve mit der Steigung 1 durch die Nullstelle. Bei π/4 ist sie schon flacher (Steigung ≈ 0,71), am Hochpunkt bei π/2 ist die Tangente waagrecht (Steigung 0). Wo die Kurve am höchsten ist, verläuft sie am flachsten.
Die Sinuskurve hat ihre größte Steigung an der Stelle, an der ihr Funktionswert am größten ist.
Erklärung: Falsch: Der größte Funktionswert 1 liegt bei x = π/2, dort ist die Tangente waagrecht. Die größte Steigung 1 hat die Kurve an den Nullstellen 0 und 2π.
In welchem der drei Punkte verläuft die Sinuskurve am steilsten?
Erklärung: A liegt kurz hinter der Nullstelle 0, dort ist die Steigung fast 1. C ist schon deutlich flacher, B liegt auf dem Hochpunkt, dort ist die Steigung 0.
Wie groß ist die größte Steigung, die die Sinuskurve überhaupt erreicht?
Erklärung: Am steilsten ist die Kurve an den Nullstellen: dort hat die Tangente die Steigung 1 (Anstieg 45°) beziehungsweise −1. Steiler wird sie nie.
Die Sinuskurve hat bei x = π die Steigung −1. Ein Punkt startet in (π | 0) und wandert 0,4 Einheiten nach rechts längs der Tangente. Um wie viel ändert sich seine Höhe?
Erklärung: Steigung −1 heißt: Auf 1 nach rechts geht es 1 nach unten. Auf 0,4 nach rechts geht es 0,4 nach unten, die Höhe ändert sich um −0,4.
Skizziere die Sinuskurve für 0 ≤ x ≤ 2π. Zeichne in den Punkten bei x = 0, π/2, π, 3π/2 und 2π die Tangente ein und gib jeweils ihre Steigung an. Begründe damit, warum die Kurve am Hochpunkt nicht am steilsten ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Steigungen der fünf Tangenten sind 1, 0, −1, 0, 1. Am Hochpunkt ist die Tangente waagrecht; am steilsten verläuft die Kurve an den Nullstellen.
Wie groß ist die Steigung der Sinuskurve an der Stelle x = π?
Erklärung: Bei x = π geht die Sinuskurve abwärts durch die x-Achse, unter 45°: Steigung −1. Der Funktionswert 0 ist die Höhe, nicht die Steigung; die Steigung 1 hat die Kurve bei x = 0.
Bei welcher der drei Stellen hat die Sinuskurve die Steigung 1?
Erklärung: Bei x = 0 steigt die Kurve unter 45°: Steigung 1. Bei π/2 ist die Tangente waagrecht (Steigung 0), bei π fällt die Kurve (Steigung −1).
Bei x = 3π/2 hat die Sinuskurve die Steigung −1.
Erklärung: Falsch: Bei 3π/2 liegt der Tiefpunkt. Der Funktionswert ist dort −1, die Steigung aber 0 (waagrechte Tangente). Die Steigung −1 hat die Kurve bei x = π.
Wie groß ist die Steigung der Sinuskurve an der Stelle x = 2π?
Erklärung: Nach 2π wiederholt sich die Kurve. Bei x = 2π sieht sie aus wie bei x = 0: sie steigt durch die Nullstelle mit der Steigung 1.
Die Tangente an die Sinuskurve im Punkt (0 | 0) hat die Steigung 1. Bestimme mit ihr näherungsweise sin 0,1 (Bogenmaß).
Erklärung: Die Tangente ist die Gerade y = 1·x, also liefert sie bei x = 0,1 den Näherungswert 0,1. Der genaue Wert sin 0,1 ≈ 0,0998 liegt sehr nahe daran.