Steigung ablesen

Reading the slope

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben
AnalysisAbleitungenTrigonometrie

An jedem Punkt der Sinuskurve hat die Tangente eine Steigung: positiv, wo die Kurve steigt, negativ, wo sie fällt, 0 an Hoch- und Tiefpunkten. Der Abschnitt räumt die häufigste Verwechslung aus, die Steigung mit der Höhe gleichzusetzen — am Hochpunkt ist die Kurve am höchsten, aber nicht am steilsten; am steilsten verläuft sie an den Nullstellen. Die fünf Steigungswerte 1, 0, −1, 0, 1 bei 0, π/2, π, 3π/2 und 2π sind das Material, aus dem die nächste Station die Steigungskurve zeichnet und die Ableitung von sin ablesbar macht.

Auf und ab

Die Sinuskurve kennst du aus der 10. Klasse. Jetzt fragen wir, wie steil sie in jedem Punkt ist, also nach der Steigung ihrer Tangente (aus der 11. Klasse: dem Grenzwert der Sekantensteigungen, der Ableitung an dieser Stelle). Ziehe den Punkt P über die Kurve: Solange sin x wächst, steigt auch die Tangente, ihre Steigung ist positiv. Wo die Kurve fällt, ist die Steigung negativ. Auf dem Hochpunkt bei und im Tiefpunkt bei liegt die Tangente waagrecht, die Steigung ist 0.

Achte auf die beiden Zahlen unter der Figur. Die Höhe sagt, wo die Kurve liegt, die Steigung, wie sie dort verläuft. Beide können verschiedene Vorzeichen haben.

Ziehe x₀ und vergleiche Höhe und Steigung: Wo ist die Steigung 0, wo positiv, wo negativ?

Steil ist nicht hoch

Wo ist die Kurve am steilsten? Viele tippen auf den Hochpunkt, denn dort ist die Höhe am größten. Doch Höhe und Steigung sind zwei verschiedene Größen: Am Hochpunkt ist die Steigung 0. Am steilsten verläuft die Kurve an den Nullstellen. Das Steigungsdreieck zeigt es: Von P geht es eine Einheit nach rechts, dann so weit hinauf oder hinab, wie die Tangente dort ansteigt. Bei ist das eine Einheit hinauf, die Steigung ist 1. Bei geht es eine Einheit hinab: die Steigung ist −1.

Fünf Werte zum Merken: Bei hat die Sinuskurve die Steigung . Die Werte dazwischen fügt der nächste Abschnitt zu einer eigenen Kurve zusammen.

Ziehe x₀ und beobachte den violetten Anstieg: Bei welchem x₀ ist er am größten, bei welchem 0?

Ermöglicht (1)

Die Steigungskurve von sin
Klasse 12
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Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt die Sinuskurve mit dem Punkt P bei x = 2,5. Welches Vorzeichen hat die Steigung der Kurve in P?

  • ● negativ
  • ○ positiv
  • ○ null
Zwischen dem Hochpunkt bei π/2 ≈ 1,57 und dem Tiefpunkt bei 3π/2 ≈ 4,71 fällt die Kurve. Bei x = 2,5 ist die Tangente also fallend, die Steigung negativ — obwohl der Funktionswert positiv ist.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt die Sinuskurve mit dem Punkt P bei x = 5,5. Welches Vorzeichen hat die Steigung der Kurve in P?

  • ● positiv
  • ○ negativ
  • ○ null
Ab dem Tiefpunkt bei 3π/2 ≈ 4,71 steigt die Kurve wieder. Bei x = 5,5 ist die Tangente steigend, die Steigung positiv — obwohl der Funktionswert negativ ist.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Überall dort, wo die Sinuskurve unter der x-Achse liegt, ist ihre Steigung negativ.

✓ Falsch
Falsch: Bei x = 5,5 liegt die Kurve unter der x-Achse, sie steigt dort aber. Das Vorzeichen der Steigung folgt dem Steigen und Fallen, nicht dem Vorzeichen des Funktionswerts.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Die Sinuskurve steigt von x = 0 bis x = π/2. An welcher der drei Stellen steigt sie am stärksten?

  • ● x = 0
  • ○ x = π/2
  • ○ x = π/4
Bei x = 0 geht die Kurve mit der Steigung 1 durch die Nullstelle. Bei π/4 ist sie schon flacher (Steigung ≈ 0,71), am Hochpunkt bei π/2 ist die Tangente waagrecht (Steigung 0). Wo die Kurve am höchsten ist, verläuft sie am flachsten.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Die Sinuskurve hat ihre größte Steigung an der Stelle, an der ihr Funktionswert am größten ist.

✓ Falsch
Falsch: Der größte Funktionswert 1 liegt bei x = π/2, dort ist die Tangente waagrecht. Die größte Steigung 1 hat die Kurve an den Nullstellen 0 und 2π.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

In welchem der drei Punkte verläuft die Sinuskurve am steilsten?

  • ● A
  • ○ B
  • ○ C
A liegt kurz hinter der Nullstelle 0, dort ist die Steigung fast 1. C ist schon deutlich flacher, B liegt auf dem Hochpunkt, dort ist die Steigung 0.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Wie groß ist die Steigung der Sinuskurve an der Stelle x = π?

  • ● −1
  • ○ 0
  • ○ 1
Bei x = π geht die Sinuskurve abwärts durch die x-Achse, unter 45°: Steigung −1. Der Funktionswert 0 ist die Höhe, nicht die Steigung; die Steigung 1 hat die Kurve bei x = 0.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Bei welcher der drei Stellen hat die Sinuskurve die Steigung 1?

  • ● x = 0
  • ○ x = π/2
  • ○ x = π
Bei x = 0 steigt die Kurve unter 45°: Steigung 1. Bei π/2 ist die Tangente waagrecht (Steigung 0), bei π fällt die Kurve (Steigung −1).
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Bei x = 3π/2 hat die Sinuskurve die Steigung −1.

✓ Falsch
Falsch: Bei 3π/2 liegt der Tiefpunkt. Der Funktionswert ist dort −1, die Steigung aber 0 (waagrechte Tangente). Die Steigung −1 hat die Kurve bei x = π.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Am Hochpunkt der Sinuskurve hat die Tangente die Steigung ___

✓ Antwort: 0
Am Hochpunkt geht das Steigen in Fallen über. Die Tangente liegt dort waagrecht, ihre Steigung ist 0.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Wie groß ist die größte Steigung, die die Sinuskurve überhaupt erreicht?

✓ Antwort: 1
Am steilsten ist die Kurve an den Nullstellen: dort hat die Tangente die Steigung 1 (Anstieg 45°) beziehungsweise −1. Steiler wird sie nie.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Wie groß ist die Steigung der Sinuskurve an der Stelle x = 2π?

✓ Antwort: 1
Nach 2π wiederholt sich die Kurve. Bei x = 2π sieht sie aus wie bei x = 0: sie steigt durch die Nullstelle mit der Steigung 1.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für wie viele der Stellen x = 0,5; 2; 3,5 und 5 hat die Sinuskurve eine positive Steigung?

✓ Antwort: 2
Die Kurve steigt auf [0; π/2] und auf [3π/2; 2π] ≈ [4,71; 6,28]. Dort liegen x = 0,5 und x = 5. Bei x = 2 und x = 3,5 fällt sie. Also 2 Stellen.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Sinuskurve hat bei x = π die Steigung −1. Ein Punkt startet in (π | 0) und wandert 0,4 Einheiten nach rechts längs der Tangente. Um wie viel ändert sich seine Höhe?

✓ Antwort: -0.4
Steigung −1 heißt: Auf 1 nach rechts geht es 1 nach unten. Auf 0,4 nach rechts geht es 0,4 nach unten, die Höhe ändert sich um −0,4.
KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Skizziere die Sinuskurve für 0 ≤ x ≤ 2π. Zeichne in den Punkten bei x = 0, π/2, π, 3π/2 und 2π die Tangente ein und gib jeweils ihre Steigung an. Begründe damit, warum die Kurve am Hochpunkt nicht am steilsten ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze der Sinuskurve mit den fünf Tangenten. Steigungen: bei x = 0 gleich 1, bei x = π/2 gleich 0 (Hochpunkt, waagrechte Tangente), bei x = π gleich −1, bei x = 3π/2 gleich 0 (Tiefpunkt), bei x = 2π gleich 1. Begründung: Am Hochpunkt liegt die Tangente waagrecht, die Steigung ist 0. Die betragsgrößte Steigung (±1) hat die Kurve an den Nullstellen. Höhe und Steigung sind verschiedene Größen.
Die Steigungen der fünf Tangenten sind 1, 0, −1, 0, 1. Am Hochpunkt ist die Tangente waagrecht; am steilsten verläuft die Kurve an den Nullstellen.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Die Tangente an die Sinuskurve im Punkt (0 | 0) hat die Steigung 1. Bestimme mit ihr näherungsweise sin 0,1 (Bogenmaß).

✓ Antwort: 0.1
Die Tangente ist die Gerade y = 1·x, also liefert sie bei x = 0,1 den Näherungswert 0,1. Der genaue Wert sin 0,1 ≈ 0,0998 liegt sehr nahe daran.