Die Ableitung von cos
Welche Ableitung hat f(x) = cos x?
Erklärung: Die Steigungen der Kosinuskurve liegen auf der an der x-Achse gespiegelten Sinuskurve: f′(x) = −sin x. Ohne das Minus (f′ = sin x) wäre die Steigung bei x = π/2 gleich +1, obwohl cos dort fällt; f′ = −cos x würde bei x = 0 die Steigung −1 liefern, die Kosinuskurve hat dort aber einen Hochpunkt mit der Steigung 0.
Die Kosinuskurve hat bei x = 3Ï€/2 die Steigung 1.
Erklärung: f′(3π/2) = −sin(3π/2) = −(−1) = 1: Bei 3π/2 steigt die Kosinuskurve durch die x-Achse.
Die Abbildung zeigt die Kosinuskurve mit dem Punkt P bei x = 2Ï€/3. Welche Steigung hat sie in P (auf 2 Dezimalen)?
Erklärung: f′(2π/3) = −sin(2π/3) ≈ −0,87. Das Vorzeichen bleibt: cos fällt dort. −0,50 ist der Funktionswert cos(2π/3), die Höhe von P, und 0,87 hat das falsche Vorzeichen.
Wie groß ist die Steigung der Kosinuskurve an der Stelle x = π/2?
Erklärung: f′(π/2) = −sin(π/2) = −1. Dort fällt die Kosinuskurve am steilsten durch die x-Achse.
Berechne die Steigung der Kosinuskurve an der Stelle x = π/6.
Erklärung: f′(π/6) = −sin(π/6) = −0,5. Die Tangente fällt dort mit der Steigung −0,5.
Die Abbildung zeigt die Kosinuskurve mit dem Punkt P bei x = 1. Welches Vorzeichen hat die Steigung der Kurve in P?
Erklärung: Die Kosinuskurve fällt von x = 0 bis x = π ≈ 3,14. Bei x = 1 ist die Steigung negativ (−sin 1 ≈ −0,84) — obwohl der Funktionswert cos 1 ≈ 0,54 positiv ist.
Von x = π bis x = 2π ist die Steigung der Kosinuskurve positiv.
Erklärung: Von π bis 2π steigt die Kosinuskurve von −1 auf 1. Dort ist sin x negativ, also −sin x positiv.
Die Kosinuskurve hat bei x = π ihren Tiefpunkt. Wie groß ist die Steigung dort?
Erklärung: Am Tiefpunkt liegt die Tangente waagrecht: f′(π) = −sin π = 0. Der Wert −1 ist die Höhe des Tiefpunkts.
Für wie viele Stellen x aus {0; π; 2π} hat die Kosinuskurve die Steigung 0?
Erklärung: f′(x) = −sin x ist bei 0, π und 2π gleich 0: am Hochpunkt bei 0 und 2π und am Tiefpunkt bei π. Also 3 Stellen.
Bei welchem x im Intervall [0; π] fällt die Kosinuskurve am steilsten? Gib x auf 2 Dezimalen an.
Erklärung: Die Steigung −sin x ist am kleinsten (−1), wo sin x am größten ist: bei x = π/2 ≈ 1,57.
Man leitet f(x) = sin x zweimal ab. Was ergibt f″(x)?
Erklärung: Erste Ableitung: f′(x) = cos x. Zweite Ableitung: f″(x) = (cos x)′ = −sin x. Bei f″ = cos x bliebe man nach dem ersten Schritt stehen, f″ = sin x würde das Minus verlieren.
Die vierte Ableitung von f(x) = sin x ist wieder sin x.
Erklärung: sin x → cos x → −sin x → −cos x → sin x: Nach vier Ableitungen ist man wieder bei der Ausgangsfunktion.
Man leitet f(x) = sin x dreimal ab. Was ergibt f‴(x)?
Erklärung: f′ = cos x, f″ = −sin x, f‴ = (−sin x)′ = −cos x. Dabei bleibt das Minus von f″ erhalten.
Berechne f″(0) für f(x) = cos x.
Erklärung: f′(x) = −sin x und f″(x) = (−sin x)′ = −cos x. Bei x = 0 ist f″(0) = −cos 0 = −1.
Berechne f‴(π) für f(x) = sin x.
Erklärung: f‴(x) = −cos x, also f‴(π) = −cos π = −(−1) = 1.
Für die Kosinuskurve wurden Tangentensteigungen gemessen: bei x = 0, π/6, π/3, π/2, π, 3π/2 sind sie 0; −0,5; −0,87; −1; 0; 1. Trage die sechs Punkte (x | Steigung) in ein Koordinatensystem ein, benenne die Kurve, durch die sie verlaufen, und gib damit die Ableitung von cos x an. Erkläre außerdem, warum sie negativ ist, wenn 0 < x < π gilt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die gemessenen Steigungen liegen auf −sin x: (cos x)′ = −sin x. Das Minus steht dort, weil cos zwischen 0 und π fällt, sin x aber positiv ist.