Die Ableitung von cos

The derivative of cos

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben
AnalysisAbleitungenKosinus

Dieselbe Methode am Kosinus: Die Kosinuskurve fällt zwischen 0 und π, ihre Steigungskurve liegt dort unter der x-Achse und ist die an der x-Achse gespiegelte Sinuskurve, also (cos x)′ = −sin x. Der Abschnitt räumt den häufigsten Fehler aus, das Minuszeichen zu verlieren — (cos x)′ = sin x —, und zeigt den Kreislauf sin → cos → −sin → −cos → sin. Er bereitet die zweite Ableitung f″ = −f der Sinusschwingung, die Wendestellen und die Beschleunigung im Pendel vor.

Die Steigung von cos

Jetzt dieselbe Methode beim Kosinus. Ziehe x₀ und beobachte die Kosinuskurve: Sie fällt von 1 bei bis −1 bei , ihre Steigung ist dort negativ, am steilsten (−1) bei . Am Hochpunkt bei 0 und am Tiefpunkt bei π ist sie 0. Danach steigt die Kurve bis , die Steigung ist positiv und bei gleich 1.

Die grünen Punkte zeichnen die Steigungskurve: den an der x-Achse gespiegelten Sinus. Deshalb gilt

Das Minuszeichen ist kein Zufall. Zwischen 0 und π ist positiv, die Kosinuskurve aber fällt: Ohne das Minus hätte die Ableitung das falsche Vorzeichen. Die Steigung ist übrigens nicht der Funktionswert: Bei ist , die Steigung aber −1.

Ziehe x₀ und vergleiche die Steigung m mit dem Chip sin x₀: Welcher Zusammenhang fällt auf?

Ein Kreislauf

Leitet man das Ergebnis erneut ab, entsteht eine Kette: . Nach vier Ableitungen ist man wieder am Anfang. Für heißt das

Die zweite Ableitung ist die Ableitung der Ableitung. Beim Sinus ist sie das Negative der Funktion selbst: . Diese Eigenschaft steckt hinter jeder Schwingung; im letzten Abschnitt kommt sie beim Pendel wieder vor.

Die Kurven von f (blau), f′ (grün) und f″ (violett). Die Punkte zeigen bei x = π/3 die Werte 0,87; 0,50 und −0,87: f″ ist an jeder Stelle das Negative von f.

Voraussetzungen (1)

Die Steigungskurve von sin
Klasse 12
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Ermöglicht (2)

Sinus mit linearem Argument
Klasse 12
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Summen und Produkte mit sin
Klasse 12
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Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = cos x?

  • ● f′(x) = −sin x
  • ○ f′(x) = sin x
  • ○ f′(x) = −cos x
Die Steigungen der Kosinuskurve liegen auf der an der x-Achse gespiegelten Sinuskurve: f′(x) = −sin x. Ohne das Minus (f′ = sin x) wäre die Steigung bei x = π/2 gleich +1, obwohl cos dort fällt; f′ = −cos x würde bei x = 0 die Steigung −1 liefern, die Kosinuskurve hat dort aber einen Hochpunkt mit der Steigung 0.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Kosinuskurve hat bei x = 3π/2 die Steigung 1.

✓ Wahr
f′(3π/2) = −sin(3π/2) = −(−1) = 1: Bei 3π/2 steigt die Kosinuskurve durch die x-Achse.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt die Kosinuskurve mit dem Punkt P bei x = 2π/3. Welche Steigung hat sie in P (auf 2 Dezimalen)?

  • ● −0,87
  • ○ 0,87
  • ○ −0,50
f′(2π/3) = −sin(2π/3) ≈ −0,87. Das Vorzeichen bleibt: cos fällt dort. −0,50 ist der Funktionswert cos(2π/3), die Höhe von P, und 0,87 hat das falsche Vorzeichen.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt die Kosinuskurve mit dem Punkt P bei x = 1. Welches Vorzeichen hat die Steigung der Kurve in P?

  • ● negativ
  • ○ positiv
  • ○ null
Die Kosinuskurve fällt von x = 0 bis x = π ≈ 3,14. Bei x = 1 ist die Steigung negativ (−sin 1 ≈ −0,84) — obwohl der Funktionswert cos 1 ≈ 0,54 positiv ist.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Von x = π bis x = 2π ist die Steigung der Kosinuskurve positiv.

✓ Wahr
Von π bis 2π steigt die Kosinuskurve von −1 auf 1. Dort ist sin x negativ, also −sin x positiv.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Die Kosinuskurve hat bei x = π ihren Tiefpunkt. Wie groß ist die Steigung dort?

  • ● 0
  • ○ −1
  • ○ 1
Am Tiefpunkt liegt die Tangente waagrecht: f′(π) = −sin π = 0. Der Wert −1 ist die Höhe des Tiefpunkts.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Man leitet f(x) = sin x zweimal ab. Was ergibt f″(x)?

  • ● f″(x) = −sin x
  • ○ f″(x) = cos x
  • ○ f″(x) = sin x
Erste Ableitung: f′(x) = cos x. Zweite Ableitung: f″(x) = (cos x)′ = −sin x. Bei f″ = cos x bliebe man nach dem ersten Schritt stehen, f″ = sin x würde das Minus verlieren.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die vierte Ableitung von f(x) = sin x ist wieder sin x.

✓ Wahr
sin x → cos x → −sin x → −cos x → sin x: Nach vier Ableitungen ist man wieder bei der Ausgangsfunktion.
Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Man leitet f(x) = sin x dreimal ab. Was ergibt f‴(x)?

  • ● f‴(x) = −cos x
  • ○ f‴(x) = cos x
  • ○ f‴(x) = −sin x
f′ = cos x, f″ = −sin x, f‴ = (−sin x)′ = −cos x. Dabei bleibt das Minus von f″ erhalten.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Wie groß ist die Steigung der Kosinuskurve an der Stelle x = π/2?

✓ Antwort: -1
f′(π/2) = −sin(π/2) = −1. Dort fällt die Kosinuskurve am steilsten durch die x-Achse.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für wie viele Stellen x aus {0; π; 2π} hat die Kosinuskurve die Steigung 0?

✓ Antwort: 3
f′(x) = −sin x ist bei 0, π und 2π gleich 0: am Hochpunkt bei 0 und 2π und am Tiefpunkt bei π. Also 3 Stellen.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne f″(0) für f(x) = cos x.

✓ Antwort: -1
f′(x) = −sin x und f″(x) = (−sin x)′ = −cos x. Bei x = 0 ist f″(0) = −cos 0 = −1.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne die Steigung der Kosinuskurve an der Stelle x = π/6.

✓ Antwort: -0.5
f′(π/6) = −sin(π/6) = −0,5. Die Tangente fällt dort mit der Steigung −0,5.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Bei welchem x im Intervall [0; π] fällt die Kosinuskurve am steilsten? Gib x auf 2 Dezimalen an.

✓ Antwort: 1.570796
Die Steigung −sin x ist am kleinsten (−1), wo sin x am größten ist: bei x = π/2 ≈ 1,57.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne f‴(π) für f(x) = sin x.

✓ Antwort: 1
f‴(x) = −cos x, also f‴(π) = −cos π = −(−1) = 1.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Für die Kosinuskurve wurden Tangentensteigungen gemessen: bei x = 0, π/6, π/3, π/2, π, 3π/2 sind sie 0; −0,5; −0,87; −1; 0; 1. Trage die sechs Punkte (x | Steigung) in ein Koordinatensystem ein, benenne die Kurve, durch die sie verlaufen, und gib damit die Ableitung von cos x an. Erkläre außerdem, warum sie negativ ist, wenn 0 < x < π gilt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Die sechs Punkte (0 | 0), (π/6 | −0,5), (π/3 | −0,87), (π/2 | −1), (π | 0), (3π/2 | 1) liegen auf der Kurve y = −sin x, der an der x-Achse gespiegelten Sinuskurve. Also (cos x)′ = −sin x; Probe: −sin(π/3) = −0,87. Für 0 < x < π fällt cos von 1 auf −1, die Steigung ist negativ, und sin x ist dort positiv, also −sin x negativ.
Die gemessenen Steigungen liegen auf −sin x: (cos x)′ = −sin x. Das Minus steht dort, weil cos zwischen 0 und π fällt, sin x aber positiv ist.