Die Steigungskurve von sin
Die Punkte in der Abbildung sind die gemessenen Steigungen der Sinuskurve an fünf Stellen, aufgetragen über x. Welche Kurve verläuft durch alle fünf Punkte?
Erklärung: Die Punkte (0 | 1), (π/2 | 0), (π | −1), (3π/2 | 0), (2π | 1) liegen auf der Kosinuskurve: cos 0 = 1, cos(π/2) = 0, cos π = −1. Die Sinuskurve beginnt bei 0, −cos x bei −1.
Die Steigungskurve der Sinuskurve schneidet die x-Achse bei x = π/2.
Erklärung: Bei x = π/2 hat die Sinuskurve ihren Hochpunkt, die Tangente ist waagrecht, die Steigung also 0. Der Punkt (π/2 | 0) liegt auf der x-Achse.
Die Sinuskurve hat bei x = 3π/2 ihren Tiefpunkt. Welchen Wert hat die Steigungskurve dort?
Erklärung: Am Tiefpunkt ist die Tangente waagrecht, die Steigung ist 0. Der Wert −1 ist die Höhe des Tiefpunkts, nicht die Steigung.
Wie viele Nullstellen hat die Steigungskurve der Sinuskurve im Intervall [0; 2π]?
Erklärung: Die Steigung ist 0 an jeder waagrechten Tangente: am Hochpunkt bei π/2 und am Tiefpunkt bei 3π/2. Das sind 2 Nullstellen.
Auf welcher Gesamtlänge des Intervalls [0; 2π] fällt die Sinuskurve? Gib die Länge auf 2 Dezimalen an.
Erklärung: Die Sinuskurve fällt dort, wo ihre Steigungskurve negativ ist: zwischen dem Hochpunkt bei π/2 und dem Tiefpunkt bei 3π/2. Länge: 3π/2 − π/2 = π ≈ 3,14.
Welche Ableitung hat f(x) = sin x?
Erklärung: Die Steigungen der Sinuskurve liegen auf der Kosinuskurve: f′(x) = cos x. f′(x) = sin x würde die Ableitung mit der Funktion verwechseln (das gilt nur für eˣ), −cos x hätte bei x = 0 die Steigung −1.
Für f(x) = sin x gilt f′(x) = sin x, so wie (eˣ)′ = eˣ.
Erklärung: Falsch: Die Sinuskurve hat bei x = 0 die Steigung 1, aber sin 0 = 0. Die Ableitung von sin x ist cos x.
Welcher Term gibt die Steigung der Sinuskurve an der Stelle x = 2 an (Bogenmaß)?
Erklärung: Die Steigung bei x₀ ist f′(x₀) = cos x₀, hier cos 2 ≈ −0,42. sin 2 ≈ 0,91 ist die Höhe der Kurve bei x = 2, nicht ihre Steigung.
Ergänze: Die Ableitung von sin x ist ___ x.
Erklärung: Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion: (sin x)′ = cos x.
Berechne die Steigung der Sinuskurve an der Stelle x = π/3.
Erklärung: f′(π/3) = cos(π/3) = 0,5. Die Tangente steigt dort mit der Steigung 0,5.
Berechne die Steigung der Sinuskurve an der Stelle x = π/4 (auf 2 Dezimalen).
Erklärung: f′(π/4) = cos(π/4) = √2/2 ≈ 0,71.
Mia berechnet die Steigung der Sinuskurve bei x = 1 mit cos 1 und erhält 0,99985. Woran liegt das?
Erklärung: Im Bogenmaß ist cos 1 ≈ 0,54. Der Wert 0,99985 ist cos 1°, das Ergebnis im Gradmodus. Die Steigung bei x = 1 ist kleiner als 1, weil die Kurve dort schon flacher verläuft als bei 0.
Die Sinuskurve hat bei x = 3 (Bogenmaß) die Steigung 1,00.
Erklärung: Falsch: f′(3) = cos 3 ≈ −0,99 (Rechner auf RAD). Der Wert 1,00 ist cos 3° ≈ 0,9986, also das Ergebnis im Gradmodus. Bei x = 3 ≈ 0,95π fällt die Kurve fast so steil wie bei π, die Steigung ist also negativ.
Welche Steigung hat die Sinuskurve bei x = 2 (Bogenmaß)?
Erklärung: f′(2) = cos 2 ≈ −0,42 (RAD). 0,91 ist sin 2, die Höhe. 1,00 erhält man mit cos 2° ≈ 0,99939, also im Gradmodus.
Berechne im Bogenmaß die Steigung der Sinuskurve bei x = 1 (auf 2 Dezimalen).
Erklärung: f′(1) = cos 1 ≈ 0,5403, gerundet 0,54. Der Rechner muss auf Bogenmaß (RAD) stehen.
Bei welcher Stelle x zwischen 0 und π/2 hat die Sinuskurve die Steigung 0,5? Gib x im Bogenmaß auf 2 Dezimalen an.
Erklärung: Gesucht ist x mit cos x = 0,5. Mit cos⁻¹ (RAD) folgt x = cos⁻¹(0,5) = π/3 ≈ 1,05.
Für die Sinuskurve wurden Tangentensteigungen gemessen: bei x = 0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π sind sie 1; 0,87; 0,5; 0; −0,5; −0,87; −1. Trage die sieben Punkte (x | Steigung) in ein Koordinatensystem ein (Einheiten auf der x-Achse in Vielfachen von π/6) und verbinde sie zu einer Kurve. Benenne die Kurve, gib damit die Ableitung von sin x an und prüfe zwei Punkte mit dem Taschenrechner (Bogenmaß). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Punkte liegen auf der Kosinuskurve: Die Steigungskurve der Sinuskurve ist cos x, also (sin x)′ = cos x. Die Probe muss im Bogenmaß erfolgen.