Die Steigungskurve von sin

The slope curve of sin

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben
AnalysisAbleitungenSinus

Trägt man zu jedem x die Steigung der Sinuskurve als neuen Punkt ein, entsteht eine Kurve, die bei 1 startet, bei π/2 durch 0 geht und bei π den Wert −1 erreicht: die Kosinuskurve. So wird (sin x)′ = cos x plausibel. Der Abschnitt räumt drei Fehler aus: die Steigungskurve sei wieder die Sinuskurve (Analogie zu eˣ), die Steigung sei der Funktionswert, und der Taschenrechner dürfe im Gradmaß stehen — die Formel gilt nur im Bogenmaß. Er bereitet die Ableitung des Kosinus und alle Verknüpfungen vor.

Die Steigungskurve entsteht

Aus den fünf Werten des letzten Abschnitts machen wir eine Kurve. Zu jedem x tragen wir die Steigung m der Sinuskurve als neuen Punkt Q(x | m) in dasselbe Koordinatensystem ein. Ziehe x₀ nach rechts: Bei liegt Q in der Höhe 1, bei in der Höhe 0, bei in der Höhe −1. Dazwischen füllen sich die grünen Punkte zu einer glatten Wellenkurve, die bei 1 startet, bei wieder durch 0 geht und bei zum Anfangswert 1 zurückkehrt.

Erst raten, dann nachsehen: Diese Kurve kennst du aus der 10. Klasse. Welche ist es?

Ziehe x₀ von links nach rechts und beobachte, welche Punkte Q hinterlässt.

Die Ableitung von sin

Es ist der Kosinus. Die Funktion, die jedem x die Steigung der Kurve zuordnet, heißt Ableitungsfunktion oder kurz Ableitung. Für den Sinus gilt

Das ist stimmig: Die Sinuskurve steigt bei 0 am stärksten, und der Kosinus hat dort sein Maximum 1. Sie hat ihren Hochpunkt bei , und der Kosinus hat dort seine Nullstelle. Wo sie fällt, liegt der Kosinus unter der x-Achse.

Im Bild stimmen die Steigung von sin und der Wert an jeder Stelle überein. Bei ist die Steigung . Achtung, Bogenmaß: Die Formel gilt nur, wenn x im Bogenmaß gemessen wird. Für die Steigung bei muss der Rechner auf RAD stehen und zeigen; im Gradmodus würde er liefern.

Ziehe x₀ und vergleiche die beiden Chips: Steigung von sin und cos x₀.

Voraussetzungen (1)

Steigung ablesen
Klasse 12
›

Ermöglicht (1)

Die Ableitung von cos
Klasse 12
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Die Punkte in der Abbildung sind die gemessenen Steigungen der Sinuskurve an fünf Stellen, aufgetragen über x. Welche Kurve verläuft durch alle fünf Punkte?

  • ● y = cos x
  • ○ y = sin x
  • ○ y = −cos x
Die Punkte (0 | 1), (π/2 | 0), (π | −1), (3π/2 | 0), (2π | 1) liegen auf der Kosinuskurve: cos 0 = 1, cos(π/2) = 0, cos π = −1. Die Sinuskurve beginnt bei 0, −cos x bei −1.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Steigungskurve der Sinuskurve schneidet die x-Achse bei x = π/2.

✓ Wahr
Bei x = π/2 hat die Sinuskurve ihren Hochpunkt, die Tangente ist waagrecht, die Steigung also 0. Der Punkt (π/2 | 0) liegt auf der x-Achse.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Die Sinuskurve hat bei x = 3π/2 ihren Tiefpunkt. Welchen Wert hat die Steigungskurve dort?

  • ● 0
  • ○ −1
  • ○ 1
Am Tiefpunkt ist die Tangente waagrecht, die Steigung ist 0. Der Wert −1 ist die Höhe des Tiefpunkts, nicht die Steigung.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = sin x?

  • ● f′(x) = cos x
  • ○ f′(x) = sin x
  • ○ f′(x) = −cos x
Die Steigungen der Sinuskurve liegen auf der Kosinuskurve: f′(x) = cos x. f′(x) = sin x würde die Ableitung mit der Funktion verwechseln (das gilt nur für eˣ), −cos x hätte bei x = 0 die Steigung −1.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Für f(x) = sin x gilt f′(x) = sin x, so wie (eˣ)′ = eˣ.

✓ Falsch
Falsch: Die Sinuskurve hat bei x = 0 die Steigung 1, aber sin 0 = 0. Die Ableitung von sin x ist cos x.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Welcher Term gibt die Steigung der Sinuskurve an der Stelle x = 2 an (Bogenmaß)?

  • ● cos 2
  • ○ sin 2
  • ○ −cos 2
Die Steigung bei x₀ ist f′(x₀) = cos x₀, hier cos 2 ≈ −0,42. sin 2 ≈ 0,91 ist die Höhe der Kurve bei x = 2, nicht ihre Steigung.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Mia berechnet die Steigung der Sinuskurve bei x = 1 mit cos 1 und erhält 0,99985. Woran liegt das?

  • ● Der Rechner steht auf Gradmaß (DEG).
  • ○ Der Rechner steht auf Bogenmaß (RAD).
  • ○ Die Steigung bei x = 1 beträgt tatsächlich 0,99985.
Im Bogenmaß ist cos 1 ≈ 0,54. Der Wert 0,99985 ist cos 1°, das Ergebnis im Gradmodus. Die Steigung bei x = 1 ist kleiner als 1, weil die Kurve dort schon flacher verläuft als bei 0.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Sinuskurve hat bei x = 3 (Bogenmaß) die Steigung 1,00.

✓ Falsch
Falsch: f′(3) = cos 3 ≈ −0,99 (Rechner auf RAD). Der Wert 1,00 ist cos 3° ≈ 0,9986, also das Ergebnis im Gradmodus. Bei x = 3 ≈ 0,95π fällt die Kurve fast so steil wie bei π, die Steigung ist also negativ.
Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Welche Steigung hat die Sinuskurve bei x = 2 (Bogenmaß)?

  • ● −0,42
  • ○ 0,91
  • ○ 1,00
f′(2) = cos 2 ≈ −0,42 (RAD). 0,91 ist sin 2, die Höhe. 1,00 erhält man mit cos 2° ≈ 0,99939, also im Gradmodus.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Wie viele Nullstellen hat die Steigungskurve der Sinuskurve im Intervall [0; 2π]?

✓ Antwort: 2
Die Steigung ist 0 an jeder waagrechten Tangente: am Hochpunkt bei π/2 und am Tiefpunkt bei 3π/2. Das sind 2 Nullstellen.
Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze: Die Ableitung von sin x ist ___ x.

✓ Antwort: cos
Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion: (sin x)′ = cos x.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne im Bogenmaß die Steigung der Sinuskurve bei x = 1 (auf 2 Dezimalen).

✓ Antwort: 0.540302
f′(1) = cos 1 ≈ 0,5403, gerundet 0,54. Der Rechner muss auf Bogenmaß (RAD) stehen.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Auf welcher Gesamtlänge des Intervalls [0; 2π] fällt die Sinuskurve? Gib die Länge auf 2 Dezimalen an.

✓ Antwort: 3.141593
Die Sinuskurve fällt dort, wo ihre Steigungskurve negativ ist: zwischen dem Hochpunkt bei π/2 und dem Tiefpunkt bei 3π/2. Länge: 3π/2 − π/2 = π ≈ 3,14.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne die Steigung der Sinuskurve an der Stelle x = π/3.

✓ Antwort: 0.5
f′(π/3) = cos(π/3) = 0,5. Die Tangente steigt dort mit der Steigung 0,5.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne die Steigung der Sinuskurve an der Stelle x = π/4 (auf 2 Dezimalen).

✓ Antwort: 0.707107
f′(π/4) = cos(π/4) = √2/2 ≈ 0,71.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Bei welcher Stelle x zwischen 0 und π/2 hat die Sinuskurve die Steigung 0,5? Gib x im Bogenmaß auf 2 Dezimalen an.

✓ Antwort: 1.047198
Gesucht ist x mit cos x = 0,5. Mit cos⁻¹ (RAD) folgt x = cos⁻¹(0,5) = π/3 ≈ 1,05.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Für die Sinuskurve wurden Tangentensteigungen gemessen: bei x = 0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π sind sie 1; 0,87; 0,5; 0; −0,5; −0,87; −1. Trage die sieben Punkte (x | Steigung) in ein Koordinatensystem ein (Einheiten auf der x-Achse in Vielfachen von π/6) und verbinde sie zu einer Kurve. Benenne die Kurve, gib damit die Ableitung von sin x an und prüfe zwei Punkte mit dem Taschenrechner (Bogenmaß). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Sieben Punkte (0 | 1), (π/6 | 0,87), (π/3 | 0,5), (π/2 | 0), (2π/3 | −0,5), (5π/6 | −0,87), (π | −1) im Koordinatensystem, verbunden zu einer fallenden Kurve: der Kosinuskurve. Also (sin x)′ = cos x. Probe: cos(π/6) ≈ 0,87 und cos(π/3) = 0,5, jeweils im Bogenmaß.
Die Punkte liegen auf der Kosinuskurve: Die Steigungskurve der Sinuskurve ist cos x, also (sin x)′ = cos x. Die Probe muss im Bogenmaß erfolgen.