Summen und Produkte mit sin
Welche Ableitung hat f(x) = 2x + sin x?
Erklärung: Summenregel: gliedweise ableiten. (2x)′ = 2 und (sin x)′ = cos x, also f′(x) = 2 + cos x. Bei 2x + cos x wird der lineare Summand nicht abgeleitet, bei 2·cos x wird er mit dem Sinus verrechnet.
Für f(x) = x + cos x gilt f′(x) = 1 − sin x.
Erklärung: (x)′ = 1 und (cos x)′ = −sin x. Also f′(x) = 1 − sin x.
Die Abbildung zeigt f(x) = 2x + sin x mit dem Punkt P bei x = π/2. Welche Steigung hat f in P?
Erklärung: f′(x) = 2 + cos x, also f′(π/2) = 2 + cos(π/2) = 2 + 0 = 2. Die Steigung 3 entstünde mit sin(π/2) = 1 statt cos(π/2) = 0; die Steigung 0 hätte nur der Sinus-Summand allein.
Berechne f′(0) für f(x) = 3x + sin x.
Erklärung: f′(x) = 3 + cos x, also f′(0) = 3 + cos 0 = 3 + 1 = 4.
Berechne f′(π/2) für f(x) = 2x − cos x.
Erklärung: f′(x) = 2 − (−sin x) = 2 + sin x. Bei x = π/2 ist f′(π/2) = 2 + sin(π/2) = 2 + 1 = 3. Aus dem Minus vor cos wird ein Plus.
Berechne f′(π/3) für f(x) = x − sin x (Bogenmaß).
Erklärung: f′(x) = 1 − cos x, also f′(π/3) = 1 − cos(π/3) = 1 − 0,5 = 0,5.
Welche Ableitung hat f(x) = x·sin x?
Erklärung: Produktregel mit u = x, v = sin x: f′ = u′v + uv′ = 1·sin x + x·cos x. Bei f′ = cos x sind nur die Ableitungen multipliziert (u′·v′), bei sin x + cos x fehlt im zweiten Summanden der Faktor x.
Für f(x) = x·sin x gilt f′(x) = cos x.
Erklärung: Falsch: Die Ableitung eines Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen. Richtig ist f′(x) = sin x + x·cos x; bei x = π wäre die Steigung −π, nicht cos π = −1.
Welche Ableitung hat f(x) = x·cos x?
Erklärung: u = x, v = cos x mit v′ = −sin x: f′ = 1·cos x + x·(−sin x) = cos x − x·sin x. Das Minus stammt aus (cos x)′; bei cos x − sin x ginge der Faktor x verloren.
Berechne f′(π) für f(x) = x·sin x (auf 2 Dezimalen).
Erklärung: f′(x) = sin x + x·cos x, also f′(π) = sin π + π·cos π = 0 + π·(−1) = −π ≈ −3,14.
Berechne f′(π/2) für f(x) = x·cos x (auf 2 Dezimalen).
Erklärung: f′(x) = cos x − x·sin x, also f′(π/2) = cos(π/2) − (π/2)·sin(π/2) = 0 − π/2 ≈ −1,57.
Berechne f′(0) für f(x) = (x + 1)·sin x.
Erklärung: u = x + 1 mit u′ = 1, v = sin x mit v′ = cos x: f′(x) = sin x + (x + 1)·cos x. Bei x = 0 ist f′(0) = 0 + 1·1 = 1.
Welche Rechenart wird bei f(x) = x + sin x zuletzt ausgeführt?
Erklärung: Zuletzt werden die beiden Summanden x und sin x addiert: eine Summe. Sie wird gliedweise abgeleitet.
Welche Rechenart wird bei f(x) = sin(3x) zuletzt ausgeführt?
Erklärung: Erst wird 3x gebildet, dann der Sinus davon genommen: Der Sinus steht außen, 3x innen. Das ist eine Verkettung, es gilt die Kettenregel.
Bei f(x) = 2x·sin x ist die äußerste Rechenart ein Produkt aus 2x und sin x.
Erklärung: Zuletzt werden die Faktoren 2x und sin x multipliziert. Man leitet mit der Produktregel ab.
f(x) = x·sin x ist ein ___ aus x und sin x.
Erklärung: x und sin x werden multipliziert: Die äußerste Rechenart ist ein Produkt.
Berechne f′(0) für f(x) = sin(2x) + x·cos x.
Erklärung: Summe aus zwei Teilen. (sin(2x))′ = 2·cos(2x) (Kettenregel), (x·cos x)′ = cos x − x·sin x (Produktregel). Bei x = 0: 2·1 + (1 − 0) = 3.
Leite f(x) = x·sin x ab: Benenne u und v, gib u′ und v′ an und setze f′(x) nach der Produktregel zusammen. Berechne dann die Steigung von f an der Stelle x = π/2. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Produktregel: f′(x) = sin x + x·cos x. An der Stelle π/2 ist cos(π/2) = 0, also bleibt nur sin(π/2) = 1.