Summen und Produkte mit sin

Sums and products with sin

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

AnalysisAbleitungenProduktregel

Verknüpft man sin oder cos mit einem linearen Term, entscheidet die äußerste Rechenart über die Regel: eine Summe wird gliedweise abgeleitet, (mx + sin x)′ = m + cos x, ein Produkt nach der Produktregel, (x·sin x)′ = sin x + x·cos x. Der Abschnitt räumt die Fehler aus, den linearen Summanden nicht abzuleiten, das Minus bei (−cos x)′ = +sin x zu verlieren und beim Produkt u′·v′ statt u′v + uv′ zu rechnen. Er bereitet die Extrem- und Wendepunkte von x + 2 sin x und die Untersuchung im nächsten Abschnitt vor.

Summen

Einfache Verknüpfungen entstehen durch Rechnen mit Funktionen. Bei $f (x) = x + sin x$ setzt sich der Graph aus der Geraden $y = x$ und dem Sinus zusammen. Auch die Steigungen addieren sich, man leitet gliedweise ab:

$(x + sin x)^{'} = 1 + cos x$

Ein linearer Summand liefert nur seine Steigung: $(m x + sin x)^{'} = m + cos x$ . Achte auf die Vorzeichen: Bei $2 x - cos x$ ist die Ableitung $2 + sin x$ , denn $(- cos x)^{'} = + sin x$ . Im Bild ist die Summenkurve nie fallend, denn ihre Steigung $1 + cos x$ ist nie negativ.

Ziehe x₀ und beobachte, wie sich die Steigung der Summe aus den beiden Steigungen zusammensetzt.

Produkte und die Regelwahl

Bei $f (x) = x \cdot sin x$ steht ein Produkt. Nach der Produktregel gilt mit $u = x$ und $v = sin x$ :

$(x \cdot sin x)^{'} = 1 \cdot sin x + x \cdot cos x = sin x + x cos x$

Ebenso gilt $(x cos x)^{'} = cos x - x sin x$ . Nicht $cos x$ ist die Ableitung von $x sin x$ : Das wäre $u^{'} \cdot v^{'}$ , die einfach multiplizierten Ableitungen. Bei $x = 2, 5$ liefert die Produktregel $- 1, 40$ , der falsche Ansatz nur $- 0, 80$ .

Wie wählt man die Regel? Frage dich: Welche Rechenart steht ganz außen? Bei $x + sin x$ eine Summe, bei $x \cdot sin x$ ein Produkt, bei $sin (2 x)$ eine Verkettung mit der Kettenregel.

Ziehe x₀ und vergleiche die Steigung u′v + uv′ mit dem falschen Ansatz u′·v′.

Voraussetzungen (1)

Die Ableitung von cos

Klasse 12

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Ermöglicht (1)

Extrem- und Wendepunkte

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = 2x + sin x?

● f′(x) = 2 + cos x
○ f′(x) = 2x + cos x
○ f′(x) = 2·cos x

Summenregel: gliedweise ableiten. (2x)′ = 2 und (sin x)′ = cos x, also f′(x) = 2 + cos x. Bei 2x + cos x wird der lineare Summand nicht abgeleitet, bei 2·cos x wird er mit dem Sinus verrechnet.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Für f(x) = x + cos x gilt f′(x) = 1 − sin x.

✓ Wahr

(x)′ = 1 und (cos x)′ = −sin x. Also f′(x) = 1 − sin x.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt f(x) = 2x + sin x mit dem Punkt P bei x = π/2. Welche Steigung hat f in P?

● 2
○ 3
○ 0

f′(x) = 2 + cos x, also f′(π/2) = 2 + cos(π/2) = 2 + 0 = 2. Die Steigung 3 entstünde mit sin(π/2) = 1 statt cos(π/2) = 0; die Steigung 0 hätte nur der Sinus-Summand allein.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = x·sin x?

● f′(x) = sin x + x·cos x
○ f′(x) = cos x
○ f′(x) = sin x + cos x

Produktregel mit u = x, v = sin x: f′ = u′v + uv′ = 1·sin x + x·cos x. Bei f′ = cos x sind nur die Ableitungen multipliziert (u′·v′), bei sin x + cos x fehlt im zweiten Summanden der Faktor x.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Für f(x) = x·sin x gilt f′(x) = cos x.

✓ Falsch

Falsch: Die Ableitung eines Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen. Richtig ist f′(x) = sin x + x·cos x; bei x = π wäre die Steigung −π, nicht cos π = −1.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = x·cos x?

● f′(x) = cos x − x·sin x
○ f′(x) = cos x + x·sin x
○ f′(x) = cos x − sin x

u = x, v = cos x mit v′ = −sin x: f′ = 1·cos x + x·(−sin x) = cos x − x·sin x. Das Minus stammt aus (cos x)′; bei cos x − sin x ginge der Faktor x verloren.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Welche Rechenart wird bei f(x) = x + sin x zuletzt ausgeführt?

● Summe
○ Produkt
○ Verkettung

Zuletzt werden die beiden Summanden x und sin x addiert: eine Summe. Sie wird gliedweise abgeleitet.

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Welche Rechenart wird bei f(x) = sin(3x) zuletzt ausgeführt?

● Verkettung
○ Summe
○ Produkt

Erst wird 3x gebildet, dann der Sinus davon genommen: Der Sinus steht außen, 3x innen. Das ist eine Verkettung, es gilt die Kettenregel.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Bei f(x) = 2x·sin x ist die äußerste Rechenart ein Produkt aus 2x und sin x.

✓ Wahr

Zuletzt werden die Faktoren 2x und sin x multipliziert. Man leitet mit der Produktregel ab.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne f′(0) für f(x) = 3x + sin x.

✓ Antwort: 4

f′(x) = 3 + cos x, also f′(0) = 3 + cos 0 = 3 + 1 = 4.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne f′(π) für f(x) = x·sin x (auf 2 Dezimalen).

✓ Antwort: -3.141593

f′(x) = sin x + x·cos x, also f′(π) = sin π + π·cos π = 0 + π·(−1) = −π ≈ −3,14.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

f(x) = x·sin x ist ein ___ aus x und sin x.

✓ Antwort: Produkt

x und sin x werden multipliziert: Die äußerste Rechenart ist ein Produkt.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne f′(π/2) für f(x) = 2x − cos x.

✓ Antwort: 3

f′(x) = 2 − (−sin x) = 2 + sin x. Bei x = π/2 ist f′(π/2) = 2 + sin(π/2) = 2 + 1 = 3. Aus dem Minus vor cos wird ein Plus.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne f′(π/3) für f(x) = x − sin x (Bogenmaß).

✓ Antwort: 0.5

f′(x) = 1 − cos x, also f′(π/3) = 1 − cos(π/3) = 1 − 0,5 = 0,5.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne f′(π/2) für f(x) = x·cos x (auf 2 Dezimalen).

✓ Antwort: -1.570796

f′(x) = cos x − x·sin x, also f′(π/2) = cos(π/2) − (π/2)·sin(π/2) = 0 − π/2 ≈ −1,57.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne f′(0) für f(x) = (x + 1)·sin x.

✓ Antwort: 1

u = x + 1 mit u′ = 1, v = sin x mit v′ = cos x: f′(x) = sin x + (x + 1)·cos x. Bei x = 0 ist f′(0) = 0 + 1·1 = 1.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Berechne f′(0) für f(x) = sin(2x) + x·cos x.

✓ Antwort: 3

Summe aus zwei Teilen. (sin(2x))′ = 2·cos(2x) (Kettenregel), (x·cos x)′ = cos x − x·sin x (Produktregel). Bei x = 0: 2·1 + (1 − 0) = 3.

KI-bewertete Rechnung #6 240s ▶ Testen

Leite f(x) = x·sin x ab: Benenne u und v, gib u′ und v′ an und setze f′(x) nach der Produktregel zusammen. Berechne dann die Steigung von f an der Stelle x = π/2. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: u(x) = x mit u′(x) = 1; v(x) = sin x mit v′(x) = cos x. Produktregel: f′(x) = u′v + uv′ = 1·sin x + x·cos x = sin x + x·cos x. Bei x = π/2: f′(π/2) = sin(π/2) + (π/2)·cos(π/2) = 1 + 0 = 1.

Produktregel: f′(x) = sin x + x·cos x. An der Stelle π/2 ist cos(π/2) = 0, also bleibt nur sin(π/2) = 1.