Schnittpunkte mit den Achsen
Wo schneidet der Graph von y = 6 / (x − 2) + 1 die y-Achse?
Erklärung: Für x = 0: y = 6 / (0 − 2) + 1 = −3 + 1 = −2, also S(0 | −2). Bei (0 | 4) wurde 6 : 2 + 1 gerechnet und das Vorzeichen des Nenners übersehen. (−2 | 0) vertauscht die Koordinaten.
Die abgebildete Hyperbel y = 4 / x + 3 schneidet die y-Achse.
Erklärung: Auf der y-Achse ist x = 0, und 4 / 0 gibt es nicht. Bei b = 0 liegt die senkrechte Asymptote auf der y-Achse, es gibt keinen Schnittpunkt. Das + 3 ändert daran nichts.
Welche y-Koordinate hat der Schnittpunkt des abgebildeten Graphen mit der y-Achse?
Erklärung: Der Graph schneidet die y-Achse tief unter der x-Achse bei y = −3. Bei 3 ist das Vorzeichen falsch, y = −1 ist die waagrechte Asymptote (der Graph erreicht diese Höhe nie).
Welchen y-Wert hat der Schnittpunkt des abgebildeten Graphen mit der y-Achse?
Erklärung: Der Graph von y = 4 / (x + 2) − 1 geht durch (0 | 1): f(0) = 4 / 2 − 1 = 1. Bei −1 wurde die waagrechte Asymptote abgelesen, bei 2 nur 4 / 2 gerechnet und das − 1 vergessen.
Berechne f(0) für f(x) = 3 / (x + 1) + 2.
Erklärung: f(0) = 3 / (0 + 1) + 2 = 3 + 2 = 5. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist (0 | 5).
Der Graph von y = 4 / (x − 2) − 5 schneidet die y-Achse. Bei welchem y-Wert?
Erklärung: y = 4 / (0 − 2) − 5 = −2 − 5 = −7. Der Nenner ist −2 (nicht +2), deshalb bekommt der Bruch das Minus. S(0 | −7).
Welche Nullstelle hat f(x) = 2 / (x − 1) − 1?
Erklärung: Aus 2 / (x − 1) − 1 = 0 folgt 2 / (x − 1) = 1, also x − 1 = 2 und x = 3. x = 1 ist gar nicht in der Definitionsmenge (Asymptote), x = −1 ist das Vorzeichen von c mit x verwechselt.
Welche Gleichung muss man lösen, um die Nullstelle von f(x) = 4 / (x + 2) − 2 zu finden?
Erklärung: Nullstelle heißt f(x) = 0, also 4 / (x + 2) − 2 = 0. Addiert man 2, folgt 4 / (x + 2) = 2. Mit −2 wäre ein Vorzeichen verloren gegangen. x + 2 = 0 gehört zur Asymptote, dort ist f gar nicht definiert.
Der abgebildete Graph schneidet die x-Achse bei x = 3.
Erklärung: Der Graph von y = 2 / (x − 1) − 1 geht durch (3 | 0): 2 / 2 − 1 = 0. Der rechte Ast fällt von oben, überquert die x-Achse bei x = 3 und nähert sich dann der Höhe y = −1.
Bei welchem x schneidet der abgebildete Graph die x-Achse?
Erklärung: Der Graph von y = 3 / (x − 1) − 1 geht durch (4 | 0): 3 / 3 − 1 = 0. x = 1 ist die senkrechte Asymptote (dort ist der Graph nicht definiert), x = −1 ist der Wert von c mit x verwechselt.
Löse die Gleichung 8 / (x + 1) = 2.
Erklärung: Aus 8 / (x + 1) = 2 folgt x + 1 = 8 : 2 = 4 und damit x = 3. Probe: 8 / 4 = 2.
Berechne die Nullstelle von f(x) = 6 / (x − 2) − 3.
Erklärung: 6 / (x − 2) − 3 = 0 gibt 6 / (x − 2) = 3, also x − 2 = 2 und x = 4. Probe: f(4) = 6 / 2 − 3 = 0.
Gegeben ist f(x) = 6 / (x − 3) − 1. Bestimme die Definitionsmenge, die beiden Asymptoten, den Schnittpunkt mit der y-Achse und die Nullstelle. Zeige jeden Rechenschritt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: x = 0 einsetzen: 6 / (−3) − 1 = −3. f(x) = 0: 6 / (x − 3) = 1, x − 3 = 6, x = 9.
Bei welcher Funktion gibt es keine Nullstelle?
Erklärung: Ein Bruch mit Zähler 3 ist nie 0, also hat y = 3 / (x − 2) keine Nullstelle (c = 0: die x-Achse ist die waagrechte Asymptote). Mit + 1 ist 3 / (x − 2) = −1 lösbar (x = −1), mit − 1 ist 3 / (x − 2) = 1 lösbar (x = 5).
Bei welcher Funktion gibt es keinen Schnittpunkt mit der y-Achse?
Erklärung: Bei y = 5 / x − 2 ist b = 0, und x = 0 gehört nicht zur Definitionsmenge: Die y-Achse ist Asymptote. Bei x − 1 und x + 1 ist 0 einsetzbar (f(0) = −7 bzw. 5).
Der abgebildete Graph schneidet die y-Achse und die x-Achse.
Erklärung: Der Graph von y = 2 / x + 2 hat bei x = 0 eine Asymptote (kein y-Achsenabschnitt), schneidet aber die x-Achse bei x = −1. Nur ein Schnittpunkt, nicht beide.
Die Funktion y = 4 / (x − 3) hat keine ___ (Schnittpunkt mit der x-Achse).
Erklärung: Ein Bruch mit Zähler 4 ist nie 0, also gibt es keine Nullstelle. Die x-Achse ist die waagrechte Asymptote, weil c = 0 ist.
Für welchen Wert von b hat y = 5 / (x − b) + 2 keinen Schnittpunkt mit der y-Achse?
Erklärung: Der Graph schneidet die y-Achse nicht, wenn x = 0 nicht zur Definitionsmenge gehört. Das gilt, wenn der Nenner x − b für x = 0 null ist, also b = 0.