Schnittpunkte mit den Achsen

Intersection with the axes

Mathematik Klasse 8 18 Aufgaben
FunktionenNullstellenHyperbel

Der y-Achsenabschnitt folgt aus f(0) = −a/b + c (nur für b ≠ 0), die Nullstelle aus f(x) = 0 als x = b − a/c (nur für c ≠ 0). Die Station rechnet beides schrittweise, deutet fehlende Schnittpunkte als Asymptote auf der Achse (b = 0 bzw. c = 0) und räumt Vorzeichenfehler im Nenner sowie die Verwechslung von Nullstelle und Asymptote aus (Leinhardt, Zaslavsky & Stein 1990). Bereitet das Zeichnen der Hyperbel mit zwei sicheren Punkten und das Bestimmen von Parametern aus Achsenpunkten vor.

Der y-Achsenabschnitt

Auf der y-Achse ist . Setzt man 0 ein, erhält man den Schnittpunkt: Für ist , der Schnittpunkt ist S(0 | −3). Das geht nur, wenn 0 zur Definitionsmenge gehört, also für . Bei liegt die senkrechte Asymptote auf der y-Achse: Es gibt keinen Schnittpunkt. Kontrolle: Für , also im Nenner, ist . Das Vorzeichen im Nenner ist die häufigste Fehlerquelle.

Ändere b und c und beobachte S. Welcher Wert im Feld f(0) folgt aus welchem Regler?

Die Nullstelle

Die Nullstelle löst . Für addiert man 1: . Also ist und , der Schnittpunkt ist N(3 | 0). Allgemein gilt Für liegt die waagrechte Asymptote auf der x-Achse: Es gibt keine Nullstelle. Die Hyperbel schneidet ihre Asymptoten nie, aber die Koordinatenachsen sehr wohl, wenn diese keine Asymptoten sind. Probe: . Und x = 1 ist keine Nullstelle, dort ist f gar nicht definiert.

Ändere |c| und das Vorzeichen. Wo liegt N, und wann verschwindet die Nullstelle?

Voraussetzungen (1)

Verschieben mit b und c
Klasse 8
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wo schneidet der Graph von y = 6 / (x − 2) + 1 die y-Achse?

  • ● (0 | −2)
  • ○ (0 | 4)
  • ○ (−2 | 0)
Für x = 0: y = 6 / (0 − 2) + 1 = −3 + 1 = −2, also S(0 | −2). Bei (0 | 4) wurde 6 : 2 + 1 gerechnet und das Vorzeichen des Nenners übersehen. (−2 | 0) vertauscht die Koordinaten.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die abgebildete Hyperbel y = 4 / x + 3 schneidet die y-Achse.

✓ Falsch
Auf der y-Achse ist x = 0, und 4 / 0 gibt es nicht. Bei b = 0 liegt die senkrechte Asymptote auf der y-Achse, es gibt keinen Schnittpunkt. Das + 3 ändert daran nichts.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche y-Koordinate hat der Schnittpunkt des abgebildeten Graphen mit der y-Achse?

  • ● −3
  • ○ 3
  • ○ −1
Der Graph schneidet die y-Achse tief unter der x-Achse bei y = −3. Bei 3 ist das Vorzeichen falsch, y = −1 ist die waagrechte Asymptote (der Graph erreicht diese Höhe nie).
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welchen y-Wert hat der Schnittpunkt des abgebildeten Graphen mit der y-Achse?

  • ● 1
  • ○ −1
  • ○ 2
Der Graph von y = 4 / (x + 2) − 1 geht durch (0 | 1): f(0) = 4 / 2 − 1 = 1. Bei −1 wurde die waagrechte Asymptote abgelesen, bei 2 nur 4 / 2 gerechnet und das − 1 vergessen.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche Nullstelle hat f(x) = 2 / (x − 1) − 1?

  • ● x = 3
  • ○ x = −1
  • ○ x = 1
Aus 2 / (x − 1) − 1 = 0 folgt 2 / (x − 1) = 1, also x − 1 = 2 und x = 3. x = 1 ist gar nicht in der Definitionsmenge (Asymptote), x = −1 ist das Vorzeichen von c mit x verwechselt.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welche Gleichung muss man lösen, um die Nullstelle von f(x) = 4 / (x + 2) − 2 zu finden?

  • ● 4 / (x + 2) = 2
  • ○ 4 / (x + 2) = −2
  • ○ x + 2 = 0
Nullstelle heißt f(x) = 0, also 4 / (x + 2) − 2 = 0. Addiert man 2, folgt 4 / (x + 2) = 2. Mit −2 wäre ein Vorzeichen verloren gegangen. x + 2 = 0 gehört zur Asymptote, dort ist f gar nicht definiert.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Der abgebildete Graph schneidet die x-Achse bei x = 3.

✓ Wahr
Der Graph von y = 2 / (x − 1) − 1 geht durch (3 | 0): 2 / 2 − 1 = 0. Der rechte Ast fällt von oben, überquert die x-Achse bei x = 3 und nähert sich dann der Höhe y = −1.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Bei welchem x schneidet der abgebildete Graph die x-Achse?

  • ● x = 4
  • ○ x = −1
  • ○ x = 1
Der Graph von y = 3 / (x − 1) − 1 geht durch (4 | 0): 3 / 3 − 1 = 0. x = 1 ist die senkrechte Asymptote (dort ist der Graph nicht definiert), x = −1 ist der Wert von c mit x verwechselt.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Bei welcher Funktion gibt es keine Nullstelle?

  • ● y = 3 / (x − 2)
  • ○ y = 3 / (x − 2) + 1
  • ○ y = 3 / (x − 2) − 1
Ein Bruch mit Zähler 3 ist nie 0, also hat y = 3 / (x − 2) keine Nullstelle (c = 0: die x-Achse ist die waagrechte Asymptote). Mit + 1 ist 3 / (x − 2) = −1 lösbar (x = −1), mit − 1 ist 3 / (x − 2) = 1 lösbar (x = 5).
Multiple Choice #10 20s ▶ Testen

Bei welcher Funktion gibt es keinen Schnittpunkt mit der y-Achse?

  • ● y = 5 / x − 2
  • ○ y = 5 / (x − 1) − 2
  • ○ y = 5 / (x + 1)
Bei y = 5 / x − 2 ist b = 0, und x = 0 gehört nicht zur Definitionsmenge: Die y-Achse ist Asymptote. Bei x − 1 und x + 1 ist 0 einsetzbar (f(0) = −7 bzw. 5).
Wahr / Falsch #11 15s ▶ Testen

Der abgebildete Graph schneidet die y-Achse und die x-Achse.

✓ Falsch
Der Graph von y = 2 / x + 2 hat bei x = 0 eine Asymptote (kein y-Achsenabschnitt), schneidet aber die x-Achse bei x = −1. Nur ein Schnittpunkt, nicht beide.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne f(0) für f(x) = 3 / (x + 1) + 2.

✓ Antwort: 5
f(0) = 3 / (0 + 1) + 2 = 3 + 2 = 5. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist (0 | 5).
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Löse die Gleichung 8 / (x + 1) = 2.

✓ Antwort: 3
Aus 8 / (x + 1) = 2 folgt x + 1 = 8 : 2 = 4 und damit x = 3. Probe: 8 / 4 = 2.
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Die Funktion y = 4 / (x − 3) hat keine ___ (Schnittpunkt mit der x-Achse).

✓ Antwort: Nullstelle
Ein Bruch mit Zähler 4 ist nie 0, also gibt es keine Nullstelle. Die x-Achse ist die waagrechte Asymptote, weil c = 0 ist.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Der Graph von y = 4 / (x − 2) − 5 schneidet die y-Achse. Bei welchem y-Wert?

✓ Antwort: -7
y = 4 / (0 − 2) − 5 = −2 − 5 = −7. Der Nenner ist −2 (nicht +2), deshalb bekommt der Bruch das Minus. S(0 | −7).
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne die Nullstelle von f(x) = 6 / (x − 2) − 3.

✓ Antwort: 4
6 / (x − 2) − 3 = 0 gibt 6 / (x − 2) = 3, also x − 2 = 2 und x = 4. Probe: f(4) = 6 / 2 − 3 = 0.
KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Gegeben ist f(x) = 6 / (x − 3) − 1. Bestimme die Definitionsmenge, die beiden Asymptoten, den Schnittpunkt mit der y-Achse und die Nullstelle. Zeige jeden Rechenschritt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: D = ℚ \ {3}; Asymptoten x = 3 und y = −1. y-Achse: f(0) = 6 / (0 − 3) − 1 = −2 − 1 = −3, also S(0 | −3). Nullstelle: 6 / (x − 3) − 1 = 0, also 6 / (x − 3) = 1, x − 3 = 6, x = 9, N(9 | 0).
x = 0 einsetzen: 6 / (−3) − 1 = −3. f(x) = 0: 6 / (x − 3) = 1, x − 3 = 6, x = 9.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Für welchen Wert von b hat y = 5 / (x − b) + 2 keinen Schnittpunkt mit der y-Achse?

✓ Antwort: 0
Der Graph schneidet die y-Achse nicht, wenn x = 0 nicht zur Definitionsmenge gehört. Das gilt, wenn der Nenner x − b für x = 0 null ist, also b = 0.