Definitionsmenge und Asymptoten
Welches ist die maximale Definitionsmenge der Funktion y = 5 / x?
Erklärung: Ausgeschlossen ist nur die Zahl, bei der der Nenner 0 wird: x = 0. ℚ ohne Ausschluss wäre falsch, weil 5 : 0 nicht definiert ist. Der Zähler 5 spielt für die Definitionsmenge keine Rolle.
Zu dem abgebildeten Graphen von y = 8 / x gehört ein Punkt mit x = 0.
Erklärung: Für x = 0 wäre y = 8 : 0, und das gibt es nicht. Zwischen den beiden Ästen ist bei x = 0 eine Lücke. 0 ist aus der Definitionsmenge ausgeschlossen.
FĂĽr welchen x-Wert fehlt beim abgebildeten Graphen von y = 6 / x ein Punkt?
Erklärung: Der Graph hat bei x = 0 eine Lücke, dort wäre der Nenner 0. x = 6 ist erlaubt (y = 1). y = 0 ist keine x-Angabe: Der Wert y = 0 kommt zwar auch nie vor, aber gefragt ist das fehlende x.
FĂĽr y = 7 / x ist die Definitionsmenge D = â„š \ { ___ }.
Erklärung: Der Nenner x darf nicht 0 sein, also ist die Zahl 0 ausgeschlossen. Der Zähler 7 ist unbedenklich.
Ein Rechteck hat die Fläche 6 cm². Seine Breite x ist 0,25 cm. Berechne die Länge y (in cm) mit y = 6 / x.
Erklärung: y = 6 : 0,25 = 24 cm. Kleine Breiten sind erlaubt (nur x = 0 nicht), die Länge wird dafür sehr groß. Probe: 0,25 · 24 = 6.
Welche Werte fĂĽr y ergeben sich fĂĽr x = 1; 0,1; 0,01 bei y = 6 / x?
Erklärung: 6 : 1 = 6, 6 : 0,1 = 60 und 6 : 0,01 = 600. Durch eine kleinere Zahl zu teilen macht das Ergebnis größer. 6; 0,6; 0,06 wäre 6 · x (dieselbe Zahl mal x statt geteilt durch x). 60; 600; 6000 ist um eine Zeile verschoben: Zu x = 1 gehört y = 6.
Der abgebildete Ast kommt der y-Achse beliebig nahe, ohne sie zu berĂĽhren.
Erklärung: Je näher x an 0 rückt, desto größer wird y = 4 / x, ohne Grenze: Der Graph steigt immer steiler an der y-Achse entlang. Punkte auf der y-Achse gibt es nicht (x = 0 fehlt). Die y-Achse ist eine senkrechte Asymptote.
Bei y = 6 / x ist der Wert fĂĽr x = 0,01 kleiner als der Wert fĂĽr x = 1.
Erklärung: Für x = 0,01 ist y = 600, für x = 1 ist y = 6. Bei kleiner werdendem x wird y größer, nicht kleiner.
Berechne y fĂĽr x = 0,001 bei y = 6 / x.
Erklärung: y = 6 : 0,001 = 6000.
FĂĽr welchen x-Wert ist bei y = 6 / x der Wert y = 3000?
Erklärung: Aus 3000 = 6 / x folgt x = 6 : 3000 = 0,002. Ein sehr großes y gehört zu einem sehr kleinen x nahe der y-Achse.
Gegeben ist y = 6 / x. Gib die Definitionsmenge an. Berechne y fĂĽr x = 1; 0,1; 0,01; 0,001 und fĂĽr x = 10; 100; 1000. Beschreibe damit das Verhalten des Graphen und nenne beide Asymptoten.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Definitionsmenge ℚ \ {0}. Die Werte 6, 60, 600, 6000 zeigen: y wächst ohne Grenze, wenn x sich 0 nähert (senkrechte Asymptote x = 0). 0,6; 0,06; 0,006 zeigen: y nähert sich 0 (y = 0 waagrecht), erreicht es aber nie.
Welche Werte fĂĽr y ergeben sich fĂĽr x = 10; 100; 1000 bei y = 6 / x?
Erklärung: 6 : 10 = 0,6, 6 : 100 = 0,06 und 6 : 1000 = 0,006. Die Werte werden sehr klein, sind aber nie 0 (der Bruch 6 / x ist immer ungleich 0). 60; 600; 6000 gehören zu den kleinen Werten x = 0,1; 0,01; 0,001, nicht zu den großen.
Welche Gerade ist die waagrechte Asymptote der abgebildeten Hyperbel y = 6 / x?
Erklärung: Für große x wird y beliebig klein: Der Graph nähert sich der x-Achse, der Geraden y = 0. x = 0 ist die senkrechte Asymptote, y = 6 wäre ein einzelner Wert des Graphen (bei x = 1).
FĂĽr y = 6 / x kommt der Wert y = 0 nicht vor.
Erklärung: y = 0 hieße 6 / x = 0, und ein Bruch mit Zähler 6 ist nie 0. Der Graph nähert sich der x-Achse an, schneidet sie aber nie.
Der abgebildete Graph bleibt fĂĽr alle x > 0 oberhalb der x-Achse.
Erklärung: Für große x wird y = 4 / x sehr klein, aber nie 0 und nie negativ. Der rechte Ast verläuft immer oberhalb der x-Achse und nähert sich ihr nur an.
Der markierte Punkt P(12 | 0,5) liegt auf dem Graphen von y = 6 / x.
Erklärung: Einsetzen: 6 : 12 = 0,5. Der Punkt liegt schon sehr nah an der x-Achse, aber nicht auf ihr: y ist 0,5, nicht 0.
Berechne y fĂĽr x = 1000 bei y = 6 / x.
Erklärung: y = 6 : 1000 = 0,006. Der Wert ist sehr klein, aber nicht 0.
Ein Rechteck hat die Fläche 6 cm². Seine Breite x beträgt 300 cm. Berechne die Länge y (in cm).
Erklärung: y = 6 : 300 = 0,02 cm. Bei sehr großer Breite wird die Länge winzig, aber sie bleibt positiv, nie 0: Die Fläche 6 cm² gibt es weiterhin.