Definitionsmenge und Asymptoten

Domain and asymptotes

Mathematik Klasse 8 18 Aufgaben

FunktionenAsymptotenDefinitionsmenge

Für y = a / x ist die maximale Definitionsmenge ℚ \ {0}. Nahe x = 0 wächst |y| über alle Grenzen (senkrechte Asymptote x = 0), für große |x| nähert sich y der 0, ohne sie zu erreichen (waagrechte Asymptote y = 0). Die Station räumt die Vorstellung aus, der Graph berühre die Achsen „irgendwann“ oder erreiche y = 0 (Grundvorstellung „Annäherung ohne Erreichen“, vgl. vom Hofe 1995) und liest die Asymptoten aus Wertetabellen. Bereitet die Verschiebung durch b und c vor, bei der sich die Asymptoten mitbewegen.

Die verbotene Null

Für $y = \frac{6}{x}$ darf man jede Zahl außer 0 einsetzen. Die Definitionsmenge ist $D = Q ∖ {0}$ . Was geschieht nahe der Null? Für $x = 1; 0, 1; 0, 01; 0, 001$ ergibt sich $y = 6; 60; 600; 6000$ : Je näher x an 0 rückt, desto größer wird y, ohne Grenze. Für x = 0,000001 wäre y schon sechs Millionen.

Der Graph schmiegt sich an die y-Achse an, berührt sie aber nie. Eine solche Gerade heißt Asymptote; hier ist es die senkrechte Asymptote $x = 0$ .

Verkleinere x. Was passiert mit y, und wie nah kommt P der gestrichelten y-Achse?

Nähern, ohne zu erreichen

Wächst x, wird y kleiner: Für $x = 10; 100; 1000$ ist $y = 0, 6; 0, 06; 0, 006$ . Der Wert 0 wird aber nie erreicht, denn ein Bruch mit dem Zähler 6 ist nie 0. Die x-Achse ist die waagrechte Asymptote $y = 0$ ; der Wert y = 0 kommt nicht vor. Merke den Unterschied: Bei der senkrechten Asymptote fehlt ein x-Wert, bei der waagrechten ein y-Wert.

Die Hyperbel kommt ihren Asymptoten beliebig nahe und schneidet sie nie. Beide zusammen bilden ein Kreuz, in dessen Ecken die zwei Äste hineinlaufen; verschiebt man den Graphen, wandert das Kreuz mit.

Vergrößere x. Wird y jemals 0, und wie ändert sich der Abstand von P zur x-Achse?

Voraussetzungen (1)

Die Hyperbel

Klasse 8

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Ermöglicht (2)

Modelle aus Natur und Technik

Klasse 8

›

Verschieben mit b und c

Klasse 8

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welches ist die maximale Definitionsmenge der Funktion y = 5 / x?

● ℚ \ {0}
○ ℚ
○ ℚ \ {5}

Ausgeschlossen ist nur die Zahl, bei der der Nenner 0 wird: x = 0. ℚ ohne Ausschluss wäre falsch, weil 5 : 0 nicht definiert ist. Der Zähler 5 spielt für die Definitionsmenge keine Rolle.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Zu dem abgebildeten Graphen von y = 8 / x gehört ein Punkt mit x = 0.

✓ Falsch

Für x = 0 wäre y = 8 : 0, und das gibt es nicht. Zwischen den beiden Ästen ist bei x = 0 eine Lücke. 0 ist aus der Definitionsmenge ausgeschlossen.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Für welchen x-Wert fehlt beim abgebildeten Graphen von y = 6 / x ein Punkt?

● x = 0
○ x = 6
○ y = 0

Der Graph hat bei x = 0 eine Lücke, dort wäre der Nenner 0. x = 6 ist erlaubt (y = 1). y = 0 ist keine x-Angabe: Der Wert y = 0 kommt zwar auch nie vor, aber gefragt ist das fehlende x.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welche Werte für y ergeben sich für x = 1; 0,1; 0,01 bei y = 6 / x?

● 6; 60; 600
○ 6; 0,6; 0,06
○ 60; 600; 6000

6 : 1 = 6, 6 : 0,1 = 60 und 6 : 0,01 = 600. Durch eine kleinere Zahl zu teilen macht das Ergebnis größer. 6; 0,6; 0,06 wäre 6 · x (dieselbe Zahl mal x statt geteilt durch x). 60; 600; 6000 ist um eine Zeile verschoben: Zu x = 1 gehört y = 6.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Der abgebildete Ast kommt der y-Achse beliebig nahe, ohne sie zu berühren.

✓ Wahr

Je näher x an 0 rückt, desto größer wird y = 4 / x, ohne Grenze: Der Graph steigt immer steiler an der y-Achse entlang. Punkte auf der y-Achse gibt es nicht (x = 0 fehlt). Die y-Achse ist eine senkrechte Asymptote.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Bei y = 6 / x ist der Wert für x = 0,01 kleiner als der Wert für x = 1.

✓ Falsch

Für x = 0,01 ist y = 600, für x = 1 ist y = 6. Bei kleiner werdendem x wird y größer, nicht kleiner.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Werte für y ergeben sich für x = 10; 100; 1000 bei y = 6 / x?

● 0,6; 0,06; 0,006
○ 0,6; 0,06; 0
○ 60; 600; 6000

6 : 10 = 0,6, 6 : 100 = 0,06 und 6 : 1000 = 0,006. Die Werte werden sehr klein, sind aber nie 0 (der Bruch 6 / x ist immer ungleich 0). 60; 600; 6000 gehören zu den kleinen Werten x = 0,1; 0,01; 0,001, nicht zu den großen.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welche Gerade ist die waagrechte Asymptote der abgebildeten Hyperbel y = 6 / x?

● y = 0
○ x = 0
○ y = 6

Für große x wird y beliebig klein: Der Graph nähert sich der x-Achse, der Geraden y = 0. x = 0 ist die senkrechte Asymptote, y = 6 wäre ein einzelner Wert des Graphen (bei x = 1).

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Für y = 6 / x kommt der Wert y = 0 nicht vor.

✓ Wahr

y = 0 hieße 6 / x = 0, und ein Bruch mit Zähler 6 ist nie 0. Der Graph nähert sich der x-Achse an, schneidet sie aber nie.

Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Der abgebildete Graph bleibt für alle x > 0 oberhalb der x-Achse.

✓ Wahr

Für große x wird y = 4 / x sehr klein, aber nie 0 und nie negativ. Der rechte Ast verläuft immer oberhalb der x-Achse und nähert sich ihr nur an.

Wahr / Falsch #11 15s ▶ Testen

Der markierte Punkt P(12 | 0,5) liegt auf dem Graphen von y = 6 / x.

✓ Wahr

Einsetzen: 6 : 12 = 0,5. Der Punkt liegt schon sehr nah an der x-Achse, aber nicht auf ihr: y ist 0,5, nicht 0.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Für y = 7 / x ist die Definitionsmenge D = ℚ \ { ___ }.

✓ Antwort: 0

Der Nenner x darf nicht 0 sein, also ist die Zahl 0 ausgeschlossen. Der Zähler 7 ist unbedenklich.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne y für x = 0,001 bei y = 6 / x.

✓ Antwort: 6000

y = 6 : 0,001 = 6000.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne y für x = 1000 bei y = 6 / x.

✓ Antwort: 0.006

y = 6 : 1000 = 0,006. Der Wert ist sehr klein, aber nicht 0.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Rechteck hat die Fläche 6 cm². Seine Breite x ist 0,25 cm. Berechne die Länge y (in cm) mit y = 6 / x.

✓ Antwort: 24

y = 6 : 0,25 = 24 cm. Kleine Breiten sind erlaubt (nur x = 0 nicht), die Länge wird dafür sehr groß. Probe: 0,25 · 24 = 6.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für welchen x-Wert ist bei y = 6 / x der Wert y = 3000?

✓ Antwort: 0.002

Aus 3000 = 6 / x folgt x = 6 : 3000 = 0,002. Ein sehr großes y gehört zu einem sehr kleinen x nahe der y-Achse.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Gegeben ist y = 6 / x. Gib die Definitionsmenge an. Berechne y für x = 1; 0,1; 0,01; 0,001 und für x = 10; 100; 1000. Beschreibe damit das Verhalten des Graphen und nenne beide Asymptoten. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: D = ℚ \ {0}. Für x = 1; 0,1; 0,01; 0,001 ist y = 6; 60; 600; 6000: y wächst über alle Grenzen, senkrechte Asymptote x = 0. Für x = 10; 100; 1000 ist y = 0,6; 0,06; 0,006: y nähert sich 0, wird es aber nie (6 / x ≠ 0), waagrechte Asymptote y = 0.

Definitionsmenge ℚ \ {0}. Die Werte 6, 60, 600, 6000 zeigen: y wächst ohne Grenze, wenn x sich 0 nähert (senkrechte Asymptote x = 0). 0,6; 0,06; 0,006 zeigen: y nähert sich 0 (y = 0 waagrecht), erreicht es aber nie.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Ein Rechteck hat die Fläche 6 cm². Seine Breite x beträgt 300 cm. Berechne die Länge y (in cm).

✓ Antwort: 0.02

y = 6 : 300 = 0,02 cm. Bei sehr großer Breite wird die Länge winzig, aber sie bleibt positiv, nie 0: Die Fläche 6 cm² gibt es weiterhin.