Den Graphen zeichnen
Welchen Mittelpunkt hat das Asymptotenkreuz von y = 3 / (x + 2) − 1?
Erklärung: Aus y = a / (x − b) + c folgt M(b | c). Hier ist x + 2 = x − (−2), also b = −2, und c = −1: M(−2 | −1). M(2 | −1) übersieht das Vorzeichen in x + 2, M(−2 | 1) das in − 1.
Für y = 4 / (x + 1) + 2 sind die Asymptoten richtig eingezeichnet.
Erklärung: Die senkrechte Asymptote muss bei x = −1 liegen (x + 1 = 0), sie ist aber bei x = 1 eingezeichnet. Nur die waagrechte Asymptote y = 2 stimmt.
Beim Zeichnen von y = 5 / (x − 3) + 4 ist die senkrechte Asymptote die Gerade x = 3.
Erklärung: Die senkrechte Asymptote gehört zum Nenner: x − 3 = 0 gibt x = 3. Die 4 ist c und gibt die waagrechte Asymptote y = 4.
Berechne die y-Koordinate des Mittelpunkts des Asymptotenkreuzes von y = 7 / (x + 2) − 6.
Erklärung: Die y-Koordinate des Mittelpunkts ist c = −6, die waagrechte Asymptote. Die x-Koordinate wäre −2.
Das Asymptotenkreuz einer Hyperbel hat den Mittelpunkt M(−3 | 2). Welche Zahl ist aus der Definitionsmenge ausgeschlossen?
Erklärung: Ausgeschlossen ist die x-Koordinate der senkrechten Asymptote, also x = −3. Der Wert y = 2 gehört zur waagrechten Asymptote und ist keine ausgeschlossene x-Zahl.
Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von y = 2 / (x − 1) − 1?
Erklärung: Für x = 2: y = 2 / 1 − 1 = 1, also (2 | 1). (2 | −1) hat die Höhe der waagrechten Asymptote, die der Graph nie erreicht. Bei (3 | 2) wurde 2 : 2 + 1 gerechnet statt 2 : 2 − 1 = 0.
Der Punkt (4 | 0) liegt auf dem Graphen von y = 6 / (x − 1) − 2.
Erklärung: Für x = 4: y = 6 / 3 − 2 = 0. Der Punkt (4 | 0) ist die Nullstelle.
Der Punkt P(3 | y) liegt auf dem abgebildeten Graphen. Welchen Wert hat y?
Erklärung: Bei x = 3 schneidet der rechte Ast die x-Achse, also ist y = 0. Rechnung: 2 / (3 − 1) − 1 = 0. Bei y = 1 liegt der Ast über x = 2, bei −2 über x = −1.
Welchen x-Wert hat der markierte Punkt P auf dem abgebildeten Graphen?
Erklärung: P liegt auf dem linken Ast, unterhalb der waagrechten Asymptote, mit y = −2. Sein x-Wert ist −1 (Probe: 2 / (−1 − 1) − 1 = −2). x = 1 ist die senkrechte Asymptote, und −2 ist die y-Koordinate von P, nicht die x-Koordinate.
Berechne y für x = 5 bei y = 8 / (x − 1) + 3.
Erklärung: y = 8 / (5 − 1) + 3 = 2 + 3 = 5.
Für y = 2 / (x + 1) + 3: Welchen y-Wert hat der Punkt des Graphen mit x = −3?
Erklärung: y = 2 / (−3 + 1) + 3 = 2 / (−2) + 3 = −1 + 3 = 2. Der Nenner ist −2, deshalb wird der Bruch negativ.
Zeichne den Graphen von f(x) = 4 / (x + 2) − 1. Gib die Definitionsmenge und das Asymptotenkreuz mit Mittelpunkt an, erstelle eine Wertetabelle für x = −6, −4, −3, −1, 0, 2 und zeichne beide Äste.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: x + 2 = x − (−2) gibt b = −2, c = −1. Tabelle mit y = 4 / (x + 2) − 1: −2, −3, −5, 3, 1, 0. a = 4 > 0: Äste rechts oben und links unten von M.
Wo liegen die Äste von y = −2 / (x − 1) + 3 vom Mittelpunkt des Kreuzes aus gesehen?
Erklärung: Wegen a = −2 < 0 haben x − b und y − c verschiedene Vorzeichen: links von M (x − b < 0) ist y − c > 0, also oben; rechts von M unten. Bei a > 0 wäre es umgekehrt. Beide oberhalb passt zu keinem a.
Der abgebildete Graph gehört zu einem Term y = a / (x − b) + c mit a > 0.
Erklärung: Die Äste liegen links oben und rechts unten vom Mittelpunkt M(1 | −1). Das gehört zu a < 0. Für a > 0 lägen sie rechts oben und links unten.
Welche Funktion hat rechts oben vom Mittelpunkt ihres Kreuzes einen Ast?
Erklärung: Ein Ast rechts oben von M gehört zu a > 0: y = 3 / (x + 1) − 2 mit M(−1 | −2). Bei den anderen beiden ist a negativ, die Äste liegen links oben und rechts unten.
Die Äste des abgebildeten Graphen liegen rechts oben und links unten vom Mittelpunkt des Kreuzes.
Erklärung: Der Graph von y = 3 / (x + 1) + 1 hat M(−1 | 1) und a = 3 > 0. Deshalb liegen die Äste rechts oben und links unten von M.
Für a < 0 liegen die Äste links ___ und rechts unten vom Mittelpunkt des Asymptotenkreuzes.
Erklärung: Bei a < 0 haben x − b und y − c verschiedene Vorzeichen. Links von M (x − b < 0) ist y − c > 0, also liegt der Ast oberhalb der waagrechten Asymptote.
Für y = −4 / (x − 2) + 1 liegt rechts vom Kreuz ein Ast. Berechne y für x = 4.
Erklärung: y = −4 / (4 − 2) + 1 = −2 + 1 = −1. Der Punkt (4 | −1) liegt unterhalb der Asymptote y = 1, passend zu a < 0 (rechts unten).