Den Graphen zeichnen

Drawing the graph

Mathematik Klasse 8 18 Aufgaben
FunktionenGraphenHyperbel

Der Graph von y = a / (x − b) + c entsteht in drei Schritten: erst das gestrichelte Asymptotenkreuz mit dem Mittelpunkt M(b | c), dann wenige berechnete Punkte, dann zwei Äste, die sich dem Kreuz anschmiegen. Das Vorzeichen von a legt fest, ob sie rechts oben und links unten (a > 0) oder links oben und rechts unten (a < 0) von M liegen. Die Station räumt das Kurvenzeichnen durch Punkte am Kreuz vorbei und das Verbinden der Äste aus (Leinhardt, Zaslavsky & Stein 1990) und bereitet das Ablesen der Parameter vor.

So zeichnet man in drei Schritten. Man muss dazu nicht jeden Punkt einzeln ausrechnen: Das Kreuz und wenige sichere Punkte genügen.

1. Kreuz. Man zeichnet die Asymptoten und gestrichelt ein. Ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt M(1 | −1).

2. Punkte. Für und rechnet man aus: , , und . Vom Mittelpunkt aus gilt immer , hier . Sichere Punkte sind die, bei denen man im Kopf rechnen kann; die Nullstelle und der y-Achsenabschnitt gehören dazu.

3. Äste. Durch die Punkte zeichnet man zwei Kurven, die sich dem Kreuz anschmiegen, ohne es zu schneiden. Ist , liegen die Äste rechts oben und links unten von M, ist , liegen sie links oben und rechts unten. Zur Kontrolle: Eine Kurve, die das Kreuz schneidet, ist falsch, ebenso ein Ast, der eine Asymptote berührt.

Gehe die Schritte 1 bis 3 durch, dann wechsle das Vorzeichen von a. Auf welcher Seite von M liegen die Äste?

Voraussetzungen (1)

Verschieben mit b und c
Klasse 8
›

Ermöglicht (1)

Parameter aus dem Graphen
Klasse 8
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welchen Mittelpunkt hat das Asymptotenkreuz von y = 3 / (x + 2) − 1?

  • ● M(−2 | −1)
  • ○ M(2 | −1)
  • ○ M(−2 | 1)
Aus y = a / (x − b) + c folgt M(b | c). Hier ist x + 2 = x − (−2), also b = −2, und c = −1: M(−2 | −1). M(2 | −1) übersieht das Vorzeichen in x + 2, M(−2 | 1) das in − 1.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Für y = 4 / (x + 1) + 2 sind die Asymptoten richtig eingezeichnet.

✓ Falsch
Die senkrechte Asymptote muss bei x = −1 liegen (x + 1 = 0), sie ist aber bei x = 1 eingezeichnet. Nur die waagrechte Asymptote y = 2 stimmt.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Beim Zeichnen von y = 5 / (x − 3) + 4 ist die senkrechte Asymptote die Gerade x = 3.

✓ Wahr
Die senkrechte Asymptote gehört zum Nenner: x − 3 = 0 gibt x = 3. Die 4 ist c und gibt die waagrechte Asymptote y = 4.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von y = 2 / (x − 1) − 1?

  • ● (2 | 1)
  • ○ (2 | −1)
  • ○ (3 | 2)
Für x = 2: y = 2 / 1 − 1 = 1, also (2 | 1). (2 | −1) hat die Höhe der waagrechten Asymptote, die der Graph nie erreicht. Bei (3 | 2) wurde 2 : 2 + 1 gerechnet statt 2 : 2 − 1 = 0.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Der Punkt (4 | 0) liegt auf dem Graphen von y = 6 / (x − 1) − 2.

✓ Wahr
Für x = 4: y = 6 / 3 − 2 = 0. Der Punkt (4 | 0) ist die Nullstelle.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Der Punkt P(3 | y) liegt auf dem abgebildeten Graphen. Welchen Wert hat y?

  • ● 0
  • ○ 1
  • ○ −2
Bei x = 3 schneidet der rechte Ast die x-Achse, also ist y = 0. Rechnung: 2 / (3 − 1) − 1 = 0. Bei y = 1 liegt der Ast über x = 2, bei −2 über x = −1.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welchen x-Wert hat der markierte Punkt P auf dem abgebildeten Graphen?

  • ● −1
  • ○ 1
  • ○ −2
P liegt auf dem linken Ast, unterhalb der waagrechten Asymptote, mit y = −2. Sein x-Wert ist −1 (Probe: 2 / (−1 − 1) − 1 = −2). x = 1 ist die senkrechte Asymptote, und −2 ist die y-Koordinate von P, nicht die x-Koordinate.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Wo liegen die Äste von y = −2 / (x − 1) + 3 vom Mittelpunkt des Kreuzes aus gesehen?

  • ● links oben und rechts unten
  • ○ rechts oben und links unten
  • ○ beide oberhalb der waagrechten Asymptote
Wegen a = −2 < 0 haben x − b und y − c verschiedene Vorzeichen: links von M (x − b < 0) ist y − c > 0, also oben; rechts von M unten. Bei a > 0 wäre es umgekehrt. Beide oberhalb passt zu keinem a.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Der abgebildete Graph gehört zu einem Term y = a / (x − b) + c mit a > 0.

✓ Falsch
Die Äste liegen links oben und rechts unten vom Mittelpunkt M(1 | −1). Das gehört zu a < 0. Für a > 0 lägen sie rechts oben und links unten.
Multiple Choice #10 20s ▶ Testen

Welche Funktion hat rechts oben vom Mittelpunkt ihres Kreuzes einen Ast?

  • ● y = 3 / (x + 1) − 2
  • ○ y = −3 / (x + 1) − 2
  • ○ y = −1 / (x + 1) − 2
Ein Ast rechts oben von M gehört zu a > 0: y = 3 / (x + 1) − 2 mit M(−1 | −2). Bei den anderen beiden ist a negativ, die Äste liegen links oben und rechts unten.
Wahr / Falsch #11 15s ▶ Testen

Die Äste des abgebildeten Graphen liegen rechts oben und links unten vom Mittelpunkt des Kreuzes.

✓ Wahr
Der Graph von y = 3 / (x + 1) + 1 hat M(−1 | 1) und a = 3 > 0. Deshalb liegen die Äste rechts oben und links unten von M.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne die y-Koordinate des Mittelpunkts des Asymptotenkreuzes von y = 7 / (x + 2) − 6.

✓ Antwort: -6
Die y-Koordinate des Mittelpunkts ist c = −6, die waagrechte Asymptote. Die x-Koordinate wäre −2.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne y für x = 5 bei y = 8 / (x − 1) + 3.

✓ Antwort: 5
y = 8 / (5 − 1) + 3 = 2 + 3 = 5.
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Für a < 0 liegen die Äste links ___ und rechts unten vom Mittelpunkt des Asymptotenkreuzes.

✓ Antwort: oben
Bei a < 0 haben x − b und y − c verschiedene Vorzeichen. Links von M (x − b < 0) ist y − c > 0, also liegt der Ast oberhalb der waagrechten Asymptote.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Das Asymptotenkreuz einer Hyperbel hat den Mittelpunkt M(−3 | 2). Welche Zahl ist aus der Definitionsmenge ausgeschlossen?

✓ Antwort: -3
Ausgeschlossen ist die x-Koordinate der senkrechten Asymptote, also x = −3. Der Wert y = 2 gehört zur waagrechten Asymptote und ist keine ausgeschlossene x-Zahl.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für y = 2 / (x + 1) + 3: Welchen y-Wert hat der Punkt des Graphen mit x = −3?

✓ Antwort: 2
y = 2 / (−3 + 1) + 3 = 2 / (−2) + 3 = −1 + 3 = 2. Der Nenner ist −2, deshalb wird der Bruch negativ.
KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Zeichne den Graphen von f(x) = 4 / (x + 2) − 1. Gib die Definitionsmenge und das Asymptotenkreuz mit Mittelpunkt an, erstelle eine Wertetabelle für x = −6, −4, −3, −1, 0, 2 und zeichne beide Äste. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: D = ℚ \ {−2}; Asymptoten x = −2 und y = −1, M(−2 | −1). Wertetabelle: (−6 | −2), (−4 | −3), (−3 | −5), (−1 | 3), (0 | 1), (2 | 0). Wegen a = 4 > 0 liegen die Äste rechts oben und links unten vom Kreuz.
x + 2 = x − (−2) gibt b = −2, c = −1. Tabelle mit y = 4 / (x + 2) − 1: −2, −3, −5, 3, 1, 0. a = 4 > 0: Äste rechts oben und links unten von M.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Für y = −4 / (x − 2) + 1 liegt rechts vom Kreuz ein Ast. Berechne y für x = 4.

✓ Antwort: -1
y = −4 / (4 − 2) + 1 = −2 + 1 = −1. Der Punkt (4 | −1) liegt unterhalb der Asymptote y = 1, passend zu a < 0 (rechts unten).