Die Hyperbel
Zu welchem Term gehört der abgebildete Graph?
ErklĂ€rung: Der Graph hat zwei getrennte Ăste und kommt den Achsen nahe. Das ist eine Hyperbel, also y = a / x. Die Punkte passen: 2 · 3 = 3 · 2 = 6. y = 6x wĂ€re eine Gerade durch den Ursprung, y = xÂČ eine Parabel.
Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von y = 6 / x?
ErklĂ€rung: Einsetzen von x = 4: y = 6 : 4 = 1,5. Bei (4 | 24) wurde 6 · 4 gerechnet, bei (4 | 2) wurde 6 â 4 gerechnet.
Der Ursprung (0 | 0) liegt auf dem Graphen von y = 6 / x.
ErklĂ€rung: FĂŒr x = 0 wĂ€re y = 6 : 0, und durch 0 kann man nicht teilen. Zu x = 0 gibt es keinen Punkt, deshalb besteht der Graph aus zwei getrennten Ăsten.
Der abgebildete Graph schneidet die y-Achse.
ErklĂ€rung: Auf der y-Achse ist x = 0, und dort ist der Term nicht definiert. Die Ăste nĂ€hern sich der y-Achse, erreichen sie aber nie.
Berechne y fĂŒr x = 4 bei y = 12 / x.
ErklÀrung: y = 12 : 4 = 3. Der Punkt (4 | 3) liegt auf dem Graphen.
Der Punkt Q(x | 1,5) liegt auf dem Graphen von y = 6 / x. Berechne x.
ErklÀrung: Aus 1,5 = 6 / x folgt x = 6 : 1,5 = 4 (Probe: 4 · 1,5 = 6). Q(4 | 1,5).
Erstelle fĂŒr y = 6 / x eine Wertetabelle mit x = â6, â3, â2, â1, 1, 2, 3, 6 und zeichne den Graphen. ErklĂ€re, warum der Graph die Achsen nicht schneidet.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklĂ€rung: Wertetabelle: y = 6 : x ergibt â1, â2, â3, â6, 6, 3, 2, 1. Die Ăste liegen im I. und III. Quadranten. Auf der y-Achse ist x = 0 verboten; y = 0 ist unmöglich, weil ein Bruch mit ZĂ€hler 6 nie 0 ist.
Welcher Term gehört zum abgebildeten Graphen?
ErklĂ€rung: Die Ăste liegen im II. und IV. Quadranten, dort haben x und y verschiedene Vorzeichen: a = 2 · (â2) = â4. Bei y = 4 / x lĂ€gen die Ăste im I. und III. Quadranten, y = â4x wĂ€re eine fallende Gerade.
In welchen Quadranten verlĂ€uft der Graph von y = â5 / x?
ErklĂ€rung: Wegen a = â5 haben x und y verschiedene Vorzeichen: x < 0 mit y > 0 (II. Quadrant) und x > 0 mit y < 0 (IV. Quadrant). I und III gehören zu positivem a.
Die abgebildeten Punkte P und Q liegen auf demselben Graphen y = a / x mit a = â6.
ErklĂ€rung: P(2 | â3) und Q(â2 | 3): Beide Produkte sind â6, denn 2 · (â3) = â6 und (â2) · 3 = â6. Beide liegen auf y = â6 / x.
Der abgebildete Graph gehört zu einem Term y = a / x mit a < 0.
ErklĂ€rung: Die Ăste liegen im II. und IV. Quadranten, dort haben x und y verschiedene Vorzeichen und das Produkt x · y ist negativ. Also ist a < 0.
Der Graph von y = 8 / x verlÀuft im I. und ___ Quadranten (römische Ziffer).
ErklÀrung: Bei a = 8 > 0 haben x und y dasselbe Vorzeichen: beide positiv (I. Quadrant) oder beide negativ (III. Quadrant).
Der Graph von y = a / x geht durch den Punkt P(â2 | 5). Berechne a.
ErklĂ€rung: a = x · y = (â2) · 5 = â10. Das Vorzeichen bleibt erhalten: negatives x und positives y geben negatives a. Der Graph liegt im II. und IV. Quadranten.
Der Punkt (2 | 4,5) liegt auf einer Hyperbel y = a / x. Welcher Punkt liegt dann ebenfalls auf ihr?
ErklĂ€rung: Es ist a = 2 · 4,5 = 9. FĂŒr (â2 | â4,5) gilt (â2) · (â4,5) = 9. Bei (â2 | 4,5) und (4,5 | â2) ist das Produkt â9.
Mit (3 | 2) liegt auch der Punkt (â3 | 2) auf dem Graphen von y = 6 / x.
ErklĂ€rung: FĂŒr x = â3 ist y = 6 : (â3) = â2, nicht 2. Die Hyperbel ist symmetrisch zum Ursprung ((â3 | â2)), nicht zur y-Achse.
Der Punkt P liegt auf der abgebildeten Hyperbel. Welche Koordinaten hat der Punkt, der zu P punktsymmetrisch zum Ursprung liegt?
ErklĂ€rung: Punktspiegelung am Ursprung Ă€ndert beide Vorzeichen: P(2 | 3) wird zu (â2 | â3). (â2 | 3) spiegelt nur an der y-Achse und liegt nicht auf dem Graphen, (3 | 2) vertauscht die Koordinaten.
P(4 | 1,5) liegt auf dem Graphen von y = 6 / x. Welche y-Koordinate hat der Punkt (â4 | y) auf demselben Graphen?
ErklĂ€rung: Punktspiegelung am Ursprung Ă€ndert beide Vorzeichen: (â4 | â1,5). Probe: 6 : (â4) = â1,5.
Auf dem Graphen von y = a / x liegt der Punkt (â3 | â4). Welche y-Koordinate hat der Punkt des Graphen mit x = 6?
ErklĂ€rung: a = (â3) · (â4) = 12, also y = 12 : 6 = 2. Der Punkt (6 | 2) liegt im I. Quadranten, weil a positiv ist.