Die Hyperbel

The hyperbola

Mathematik Klasse 8 18 Aufgaben
FunktionenGraphenHyperbel

Der Graph von y = a / x ist die Hyperbel: zwei getrennte Äste, weil zu x = 0 kein Punkt gehört, und jeder Punkt spannt mit den Achsen ein Rechteck der Fläche |a| auf. Das Vorzeichen von a entscheidet über die Quadranten (I und III oder II und IV); die Hyperbel ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Station räumt das Verbinden der Äste über die y-Achse und die Achsensymmetrie-Annahme aus (Clement 1989, Leinhardt et al. 1990) und bereitet Definitionsmenge, Asymptoten und die Verschiebung des Graphen vor.

Die zwei Äste

Wir tragen Wertepaare von ein: (1 | 6), (2 | 3), (3 | 2), (6 | 1), aber auch (0,5 | 12) und die negativen Paare (−2 | −3) und (−6 | −1). Verbindet man alle Punkte glatt, entsteht die Hyperbel, der Graph von . Sie besteht aus zwei getrennten Ästen: Zu gibt es keinen Punkt, also darf man die Äste nicht über die y-Achse hinweg verbinden.

Jeder Punkt P spannt mit den Achsen ein Rechteck auf. Seine Fläche ist immer 6 – das Produkt aus dem vorigen Abschnitt. Bei x = 1 ist das Rechteck 1 breit und 6 hoch, bei x = 6 ist es 6 breit und 1 hoch: dieselbe Fläche in anderer Form.

Ändere |x| und wechsle mit ± den Ast. Wie ändert sich das Rechteck, und was bleibt gleich?

Vorzeichen und Symmetrie

Ist a positiv, haben x und y dasselbe Vorzeichen, und die Äste liegen im I. und III. Quadranten. Bei negativem a liegen sie im II. und IV. Quadranten, denn dort ist das Produkt negativ. Ein größerer Betrag von a schiebt beide Äste weiter vom Ursprung weg.

Die Hyperbel ist punktsymmetrisch zum Ursprung: Mit liegt auch auf ihr, denn . Man muss also nur einen Ast berechnen und spiegelt ihn am Ursprung.

Ändere |a| und das Vorzeichen. In welchen Quadranten liegen die Äste, und wo liegt P′ zu P?

Voraussetzungen (1)

Indirekte Proportionalität
Klasse 8
›

Ermöglicht (1)

Definitionsmenge und Asymptoten
Klasse 8
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Zu welchem Term gehört der abgebildete Graph?

  • ● y = 6 / x
  • ○ y = 6x
  • ○ y = x²
Der Graph hat zwei getrennte Äste und kommt den Achsen nahe. Das ist eine Hyperbel, also y = a / x. Die Punkte passen: 2 · 3 = 3 · 2 = 6. y = 6x wäre eine Gerade durch den Ursprung, y = x² eine Parabel.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von y = 6 / x?

  • ● (4 | 1,5)
  • ○ (4 | 24)
  • ○ (4 | 2)
Einsetzen von x = 4: y = 6 : 4 = 1,5. Bei (4 | 24) wurde 6 · 4 gerechnet, bei (4 | 2) wurde 6 − 4 gerechnet.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Der Ursprung (0 | 0) liegt auf dem Graphen von y = 6 / x.

✓ Falsch
Für x = 0 wäre y = 6 : 0, und durch 0 kann man nicht teilen. Zu x = 0 gibt es keinen Punkt, deshalb besteht der Graph aus zwei getrennten Ästen.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Der abgebildete Graph schneidet die y-Achse.

✓ Falsch
Auf der y-Achse ist x = 0, und dort ist der Term nicht definiert. Die Äste nähern sich der y-Achse, erreichen sie aber nie.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welcher Term gehört zum abgebildeten Graphen?

  • ● y = −4 / x
  • ○ y = 4 / x
  • ○ y = −4x
Die Äste liegen im II. und IV. Quadranten, dort haben x und y verschiedene Vorzeichen: a = 2 · (−2) = −4. Bei y = 4 / x lägen die Äste im I. und III. Quadranten, y = −4x wäre eine fallende Gerade.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

In welchen Quadranten verläuft der Graph von y = −5 / x?

  • ● II und IV
  • ○ I und III
  • ○ I und II
Wegen a = −5 haben x und y verschiedene Vorzeichen: x < 0 mit y > 0 (II. Quadrant) und x > 0 mit y < 0 (IV. Quadrant). I und III gehören zu positivem a.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Die abgebildeten Punkte P und Q liegen auf demselben Graphen y = a / x mit a = −6.

✓ Wahr
P(2 | −3) und Q(−2 | 3): Beide Produkte sind −6, denn 2 · (−3) = −6 und (−2) · 3 = −6. Beide liegen auf y = −6 / x.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Der abgebildete Graph gehört zu einem Term y = a / x mit a < 0.

✓ Wahr
Die Äste liegen im II. und IV. Quadranten, dort haben x und y verschiedene Vorzeichen und das Produkt x · y ist negativ. Also ist a < 0.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Der Punkt (2 | 4,5) liegt auf einer Hyperbel y = a / x. Welcher Punkt liegt dann ebenfalls auf ihr?

  • ● (−2 | −4,5)
  • ○ (−2 | 4,5)
  • ○ (4,5 | −2)
Es ist a = 2 · 4,5 = 9. Für (−2 | −4,5) gilt (−2) · (−4,5) = 9. Bei (−2 | 4,5) und (4,5 | −2) ist das Produkt −9.
Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Mit (3 | 2) liegt auch der Punkt (−3 | 2) auf dem Graphen von y = 6 / x.

✓ Falsch
Für x = −3 ist y = 6 : (−3) = −2, nicht 2. Die Hyperbel ist symmetrisch zum Ursprung ((−3 | −2)), nicht zur y-Achse.
Multiple Choice #11 20s ▶ Testen

Der Punkt P liegt auf der abgebildeten Hyperbel. Welche Koordinaten hat der Punkt, der zu P punktsymmetrisch zum Ursprung liegt?

  • ● (−2 | −3)
  • ○ (−2 | 3)
  • ○ (3 | 2)
Punktspiegelung am Ursprung ändert beide Vorzeichen: P(2 | 3) wird zu (−2 | −3). (−2 | 3) spiegelt nur an der y-Achse und liegt nicht auf dem Graphen, (3 | 2) vertauscht die Koordinaten.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne y für x = 4 bei y = 12 / x.

✓ Antwort: 3
y = 12 : 4 = 3. Der Punkt (4 | 3) liegt auf dem Graphen.
Lückentext #2 20s ▶ Testen

Der Graph von y = 8 / x verläuft im I. und ___ Quadranten (römische Ziffer).

✓ Antwort: III
Bei a = 8 > 0 haben x und y dasselbe Vorzeichen: beide positiv (I. Quadrant) oder beide negativ (III. Quadrant).
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

P(4 | 1,5) liegt auf dem Graphen von y = 6 / x. Welche y-Koordinate hat der Punkt (−4 | y) auf demselben Graphen?

✓ Antwort: -1.5
Punktspiegelung am Ursprung ändert beide Vorzeichen: (−4 | −1,5). Probe: 6 : (−4) = −1,5.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Der Punkt Q(x | 1,5) liegt auf dem Graphen von y = 6 / x. Berechne x.

✓ Antwort: 4
Aus 1,5 = 6 / x folgt x = 6 : 1,5 = 4 (Probe: 4 · 1,5 = 6). Q(4 | 1,5).
KI-bewertete Rechnung #2 240s ▶ Testen

Erstelle für y = 6 / x eine Wertetabelle mit x = −6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6 und zeichne den Graphen. Erkläre, warum der Graph die Achsen nicht schneidet. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Tabelle: x = −6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6 gehört y = −1, −2, −3, −6, 6, 3, 2, 1. Zwei getrennte Äste im I. und III. Quadranten. Kein Schnittpunkt mit der y-Achse, weil x = 0 nicht einsetzbar ist; keiner mit der x-Achse, weil 6 / x nie 0 wird.
Wertetabelle: y = 6 : x ergibt −1, −2, −3, −6, 6, 3, 2, 1. Die Äste liegen im I. und III. Quadranten. Auf der y-Achse ist x = 0 verboten; y = 0 ist unmöglich, weil ein Bruch mit Zähler 6 nie 0 ist.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Der Graph von y = a / x geht durch den Punkt P(−2 | 5). Berechne a.

✓ Antwort: -10
a = x · y = (−2) · 5 = −10. Das Vorzeichen bleibt erhalten: negatives x und positives y geben negatives a. Der Graph liegt im II. und IV. Quadranten.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Auf dem Graphen von y = a / x liegt der Punkt (−3 | −4). Welche y-Koordinate hat der Punkt des Graphen mit x = 6?

✓ Antwort: 2
a = (−3) · (−4) = 12, also y = 12 : 6 = 2. Der Punkt (6 | 2) liegt im I. Quadranten, weil a positiv ist.