Modelle aus Natur und Technik
Bei welchem Zusammenhang sind die beiden GröĂen indirekt proportional?
ErklĂ€rung: Bei fester Strecke ist s = v · t konstant, also t = s / v (Produkt v · t gleich). Bei fester Geschwindigkeit wĂ€chst die Strecke mit der Zeit (direkt proportional). Alter und GröĂe hĂ€ngen von keinem festen Produkt ab.
An einem GerĂ€t liegen feste 12 V an. Welche beiden GröĂen sind dann indirekt proportional?
ErklĂ€rung: Bei fester Spannung ist R · I = 12 V, also I = 12 / R. Bei festem Widerstand wĂ€re U = R · I: Verdoppelt man U, verdoppelt sich I (direkt proportional). Die Betriebszeit hĂ€ngt von I nicht ĂŒber ein festes Produkt ab.
Bei einem Gas mit gleichbleibender Temperatur sind Volumen V und Druck p in der Tabelle indirekt proportional.
ErklÀrung: Das Produkt ist immer gleich: 2 · 8 = 4 · 4 = 8 · 2 = 16 (in L · bar). Wird das Volumen verdoppelt, halbiert sich der Druck.
Ein Becken fĂŒllt sich gleichmĂ€Ăig. Wasserstand h und Zeit t in der Tabelle sind indirekt proportional.
ErklÀrung: Der Wasserstand wÀchst mit der Zeit: 2, 4, 6 cm nach 1, 2, 3 Minuten. Das VerhÀltnis 2 cm je Minute ist konstant (direkt proportional); die Produkte 2, 8, 18 sind es nicht.
Bei fester Spannung 6 V gilt I = 6 / R. Berechne I in Ampere fĂŒr R = 4 Ω.
ErklÀrung: I = 6 : 4 = 1,5 A. Probe: R · I = 4 · 1,5 = 6 V.
Ein Auto fÀhrt 240 km mit konstantem Tempo 80 km/h. Wie viele Stunden braucht es?
ErklÀrung: Aus s = v · t folgt t = 240 : 80 = 3 h. Bei 120 km/h wÀren es 2 h: Doppeltes Tempo, halbe Zeit.
FĂŒr ein Gas gilt p · V = 12 (p in bar, V in L). Was bedeutet die Zahl 12?
ErklĂ€rung: Die Konstante a = p · V = 12 bar · L ist das feste Produkt. Bei V = 12 L wĂ€re p = 1 bar, nicht 12. Eine Summe wĂŒrde sich bei p + V Ă€ndern, wenn man V Ă€ndert.
Der Punkt P auf dem Graphen I = a / R gehört zu R = 4 Ω und I = 1,5 A. Wie groà ist die Spannung U = R · I?
ErklÀrung: U ist das feste Produkt: 4 · 1,5 = 6, also 6 V. 5,5 wÀre die Summe 4 + 1,5, 2,7 der Quotient 4 : 1,5 (gerundet).
Bei t = 240 / v mit v in km/h und t in h hat die Zahl 240 die Einheit h.
ErklÀrung: Die Zahl 240 ist das feste Produkt v · t, also (km/h) · h = km: die Strecke. Die Einheit h gehört zu t, nicht zu 240.
Bei t = 240 / v (v in km/h, t in h) ist die Zahl 240 die ___ in Kilometern.
ErklĂ€rung: a = v · t, und Geschwindigkeit mal Zeit ist die zurĂŒckgelegte Strecke.
Bei gleichbleibender Temperatur bleibt p · V konstant. Wie groà ist der Druck p (in bar) beim Volumen V = 4 L?
ErklÀrung: p · V = 6 · 2 = 12 (bar · L). Bei V = 4 L: p = 12 : 4 = 3 bar. Ein kleineres Volumen gehört zu höherem Druck.
Ein GerĂ€t hĂ€ngt an einer Batterie mit fester Spannung U = 9 V. FĂŒr R = 3, 6, 9, 18 Ω wird die StromstĂ€rke I gemessen: 3, 1,5, 1, 0,5 A. Zeige durch Rechnung, dass R und I indirekt proportional sind, gib den Term I = a / R mit der Einheit von a an und berechne I fĂŒr R = 4,5 Ω.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklÀrung: R · I = 9 bei allen vier Paaren, a = 9 V, I = 9 / R und 9 : 4,5 = 2 A.
FĂŒr t = 240 / v beschreibt v die Geschwindigkeit eines Autos. Welche Menge ist im Sachzusammenhang sinnvoll?
ErklĂ€rung: Eine Geschwindigkeit ist positiv, und fĂŒr ein Auto sind nur bestimmte Werte sinnvoll. Die mathematische Definitionsmenge â \ {0} lĂ€sst auch negative v zu, die als Fahrgeschwindigkeit keinen Sinn haben. âAlle Zahlenâ wĂŒrde auch 0 enthalten.
FĂŒr x Pumpen, die ein Becken in y = 6 / x Stunden leeren, wird im Sachzusammenhang nur der rechte obere Ast der Hyperbel gebraucht.
ErklÀrung: Die Anzahl der Pumpen und die Zeit sind positiv, also nur x > 0 und y > 0. Der Ast im dritten Quadranten hat im Sachzusammenhang keine Bedeutung; genau genommen sind sogar nur ganze x sinnvoll.
FĂŒr t = 240 / v (Auto, 240 km): Bei welcher Geschwindigkeit ist das Modell nicht mehr sinnvoll?
ErklĂ€rung: Ein Auto fĂ€hrt nicht 2000 km/h; das Modell liefert t = 0,12 h, aber die Rechnung beschreibt keine wirkliche Fahrt mehr. 30 und 120 km/h liegen im ĂŒblichen Bereich.
FĂŒr welchen Wert von x ist y = 240 / x nicht definiert?
ErklĂ€rung: Der Nenner x darf nicht 0 sein: D = â \ {0}.
Auf einer Autobahn gilt Tempo 130 km/h als höchste Geschwindigkeit. Wie viele Stunden braucht man fĂŒr 240 km mindestens (auf 0,01 h genau)?
ErklĂ€rung: Bei t = 240 / v wird t am kleinsten fĂŒr das gröĂte v: t = 240 : 130 â 1,846 h, gerundet 1,85 h. Ein gröĂeres Tempo liegt auĂerhalb des sinnvollen Bereichs.