Modelle aus Natur und Technik

Models from nature and technology

Mathematik Klasse 8 17 Aufgaben
FunktionenProportionalitätAnwendungen

Indirekte Proportionalität y = a / x beschreibt Zusammenhänge mit festem Produkt: Fahrzeit bei fester Strecke, Stromstärke bei fester Spannung, Druck und Volumen eines Gases. Die Station liest das feste Produkt a mit seiner Einheit, ordnet Sachsituationen dem Modell zu und prüft Definitionsmenge, Einheiten und sinnvollen Bereich (Modellierungskreislauf, Blum & Leiß 2007). Sie räumt die Annahme aus, jede fallende Beziehung sei indirekt proportional (De Bock et al. 2002), und schließt den Lesetext ab.

Konstantes Produkt

Indirekt proportionale Größen findet man überall, wo ein Produkt konstant bleibt. Liegt an einem Gerät eine feste Spannung von , gilt für Widerstand R und Stromstärke I: . Doppelter Widerstand, halbe Stromstärke. Die Zahl a = 6 hat eine Bedeutung und eine Einheit: Das Produkt ist die Spannung in Volt. Zur Kontrolle setzt man ein Paar ein: gehört zu , denn .

Ebenso gilt bei fester Strecke für die Fahrzeit , und bei einem Gas mit gleichbleibender Temperatur bleibt gleich.

Ändere R. Welcher Wert im Feld R · I bleibt gleich, und wie groß ist I bei doppeltem R?

Grenzen des Modells

Ein Modell gilt nur im sinnvollen Bereich. Für ist ausgeschlossen, und bei 2000 km/h sagt die Formel eine Zeit voraus, die für ein Auto Unsinn ist. Sinnvoll sind etwa 30 bis 130 km/h. Auch die Einheiten müssen zusammenpassen: v in km/h und t in h.

Vor dem Rechnen prüft man, ob das Produkt wirklich konstant ist. Wächst bei gleichbleibendem Tempo die Strecke mit der Zeit, sind beide Größen direkt proportional, nicht indirekt. Und im Sachzusammenhang ist oft nur ein Ast der Hyperbel gefragt (x > 0). Solche Modelle sind wichtig, weil sie mit einer festen Regel beschreiben, wie eine Größe sinkt, wenn die andere wächst.

Verschiebe v durch den grünen Bereich und darüber hinaus. Ab wann wird die Fahrzeit unsinnig?

Voraussetzungen (1)

Definitionsmenge und Asymptoten
Klasse 8
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Bei welchem Zusammenhang sind die beiden Größen indirekt proportional?

  • ● Fahrzeit und Geschwindigkeit bei fester Strecke
  • ○ Strecke und Fahrzeit bei fester Geschwindigkeit
  • ○ Alter und Körpergröße eines Kindes
Bei fester Strecke ist s = v · t konstant, also t = s / v (Produkt v · t gleich). Bei fester Geschwindigkeit wächst die Strecke mit der Zeit (direkt proportional). Alter und Größe hängen von keinem festen Produkt ab.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

An einem Gerät liegen feste 12 V an. Welche beiden Größen sind dann indirekt proportional?

  • ● Widerstand R und Stromstärke I
  • ○ Spannung U und Stromstärke I bei festem Widerstand
  • ○ Stromstärke I und Betriebszeit
Bei fester Spannung ist R · I = 12 V, also I = 12 / R. Bei festem Widerstand wäre U = R · I: Verdoppelt man U, verdoppelt sich I (direkt proportional). Die Betriebszeit hängt von I nicht über ein festes Produkt ab.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Bei einem Gas mit gleichbleibender Temperatur sind Volumen V und Druck p in der Tabelle indirekt proportional.

✓ Wahr
Das Produkt ist immer gleich: 2 · 8 = 4 · 4 = 8 · 2 = 16 (in L · bar). Wird das Volumen verdoppelt, halbiert sich der Druck.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Ein Becken füllt sich gleichmäßig. Wasserstand h und Zeit t in der Tabelle sind indirekt proportional.

✓ Falsch
Der Wasserstand wächst mit der Zeit: 2, 4, 6 cm nach 1, 2, 3 Minuten. Das Verhältnis 2 cm je Minute ist konstant (direkt proportional); die Produkte 2, 8, 18 sind es nicht.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Für ein Gas gilt p · V = 12 (p in bar, V in L). Was bedeutet die Zahl 12?

  • ● Das Produkt p · V
  • ○ Der Druck bei V = 12 L
  • ○ Die Summe p + V
Die Konstante a = p · V = 12 bar · L ist das feste Produkt. Bei V = 12 L wäre p = 1 bar, nicht 12. Eine Summe würde sich bei p + V ändern, wenn man V ändert.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Der Punkt P auf dem Graphen I = a / R gehört zu R = 4 Ω und I = 1,5 A. Wie groß ist die Spannung U = R · I?

  • ● 6 V
  • ○ 5,5 V
  • ○ 2,7 V
U ist das feste Produkt: 4 · 1,5 = 6, also 6 V. 5,5 wäre die Summe 4 + 1,5, 2,7 der Quotient 4 : 1,5 (gerundet).
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Bei t = 240 / v mit v in km/h und t in h hat die Zahl 240 die Einheit h.

✓ Falsch
Die Zahl 240 ist das feste Produkt v · t, also (km/h) · h = km: die Strecke. Die Einheit h gehört zu t, nicht zu 240.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Für t = 240 / v beschreibt v die Geschwindigkeit eines Autos. Welche Menge ist im Sachzusammenhang sinnvoll?

  • ● v > 0, etwa 30 bis 130 km/h
  • ○ v ≠ 0, auch negative Werte
  • ○ alle Zahlen
Eine Geschwindigkeit ist positiv, und für ein Auto sind nur bestimmte Werte sinnvoll. Die mathematische Definitionsmenge ℚ \ {0} lässt auch negative v zu, die als Fahrgeschwindigkeit keinen Sinn haben. „Alle Zahlen“ würde auch 0 enthalten.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Für x Pumpen, die ein Becken in y = 6 / x Stunden leeren, wird im Sachzusammenhang nur der rechte obere Ast der Hyperbel gebraucht.

✓ Wahr
Die Anzahl der Pumpen und die Zeit sind positiv, also nur x > 0 und y > 0. Der Ast im dritten Quadranten hat im Sachzusammenhang keine Bedeutung; genau genommen sind sogar nur ganze x sinnvoll.
Multiple Choice #10 20s ▶ Testen

Für t = 240 / v (Auto, 240 km): Bei welcher Geschwindigkeit ist das Modell nicht mehr sinnvoll?

  • ● v = 2000 km/h
  • ○ v = 30 km/h
  • ○ v = 120 km/h
Ein Auto fährt nicht 2000 km/h; das Modell liefert t = 0,12 h, aber die Rechnung beschreibt keine wirkliche Fahrt mehr. 30 und 120 km/h liegen im üblichen Bereich.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Bei fester Spannung 6 V gilt I = 6 / R. Berechne I in Ampere für R = 4 Ω.

✓ Antwort: 1.5
I = 6 : 4 = 1,5 A. Probe: R · I = 4 · 1,5 = 6 V.
Lückentext #2 20s ▶ Testen

Bei t = 240 / v (v in km/h, t in h) ist die Zahl 240 die ___ in Kilometern.

✓ Antwort: Strecke
a = v · t, und Geschwindigkeit mal Zeit ist die zurückgelegte Strecke.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für welchen Wert von x ist y = 240 / x nicht definiert?

✓ Antwort: 0
Der Nenner x darf nicht 0 sein: D = ℚ \ {0}.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Auto fährt 240 km mit konstantem Tempo 80 km/h. Wie viele Stunden braucht es?

✓ Antwort: 3
Aus s = v · t folgt t = 240 : 80 = 3 h. Bei 120 km/h wären es 2 h: Doppeltes Tempo, halbe Zeit.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Bei gleichbleibender Temperatur bleibt p · V konstant. Wie groß ist der Druck p (in bar) beim Volumen V = 4 L?

✓ Antwort: 3
p · V = 6 · 2 = 12 (bar · L). Bei V = 4 L: p = 12 : 4 = 3 bar. Ein kleineres Volumen gehört zu höherem Druck.
KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Ein Gerät hängt an einer Batterie mit fester Spannung U = 9 V. Für R = 3, 6, 9, 18 Ω wird die Stromstärke I gemessen: 3, 1,5, 1, 0,5 A. Zeige durch Rechnung, dass R und I indirekt proportional sind, gib den Term I = a / R mit der Einheit von a an und berechne I für R = 4,5 Ω. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Produkte: 3 · 3 = 6 · 1,5 = 9 · 1 = 18 · 0,5 = 9, also indirekt proportional mit a = 9 (in V, die Spannung). Term I = 9 / R. Für R = 4,5 Ω: I = 9 : 4,5 = 2 A.
R · I = 9 bei allen vier Paaren, a = 9 V, I = 9 / R und 9 : 4,5 = 2 A.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Auf einer Autobahn gilt Tempo 130 km/h als höchste Geschwindigkeit. Wie viele Stunden braucht man für 240 km mindestens (auf 0,01 h genau)?

✓ Antwort: 1.85
Bei t = 240 / v wird t am kleinsten für das größte v: t = 240 : 130 ≈ 1,846 h, gerundet 1,85 h. Ein größeres Tempo liegt außerhalb des sinnvollen Bereichs.