Verschieben mit b und c
Um wie viel und wohin ist die Hyperbel y = 2 / (x − 3) gegenüber y = 2 / x verschoben?
Erklärung: Der Nenner x − 3 ist 0 für x = 3: Die senkrechte Asymptote liegt bei x = 3, also ist der Graph um 3 nach rechts verschoben. Nach links (x + 3) verwechselt das Vorzeichen, nach oben wäre + 3 hinter dem Bruch.
Aus y = 2 / x (gestrichelt) entsteht der abgebildete Graph durch Verschieben. Welche Gleichung hat er?
Erklärung: Die senkrechte Asymptote liegt bei x = −2, der Graph ist um 2 nach links verschoben. Der Nenner muss bei x = −2 null werden: x + 2. x − 2 verschiebt nach rechts, + 2 hinter dem Bruch nach oben.
Der abgebildete Graph gehört zu y = 2 / (x − 1).
Erklärung: Die senkrechte Asymptote liegt bei x = −1, nicht bei x = 1. Der Nenner muss bei x = −1 null werden, also x + 1. Zu y = 2 / (x − 1) gehört die Asymptote x = 1.
Welche senkrechte Asymptote hat der abgebildete Graph?
Erklärung: Die beiden Äste trennt die senkrechte Gerade x = 4: Links davon liegt der eine, rechts davon der andere Ast. x = −4 wäre die Asymptote von 2 / (x + 4), y = 4 eine waagrechte Gerade.
Die senkrechte Asymptote von y = 2 / (x − 5) ist x = ___.
Erklärung: Der Nenner x − 5 ist 0 für x = 5. Dort liegt die senkrechte Asymptote, und 5 ist aus der Definitionsmenge ausgeschlossen.
Für y = 6 / (x + 4) darf eine Zahl nicht für x eingesetzt werden. Welche?
Erklärung: Der Nenner x + 4 ist 0 für x = −4. Das Vorzeichen dreht sich um: Bei x + 4 ist b = −4, und D = ℚ \ {−4}.
Wie ist die Hyperbel y = 2 / x + 3 gegenüber y = 2 / x verschoben?
Erklärung: Die 3 wird zu jedem y-Wert addiert, also wandert der ganze Graph um 3 nach oben. In x-Richtung verschiebt nur eine Zahl im Nenner (x − b). Die waagrechte Asymptote liegt bei y = 3.
Welche waagrechte Asymptote hat der abgebildete Graph von y = 2 / x − 4?
Erklärung: Zu jedem y-Wert wird −4 addiert, der Graph liegt um 4 tiefer, und die waagrechte Asymptote wandert von y = 0 nach y = −4. y = 4 verwechselt das Vorzeichen, x = −4 wäre eine senkrechte Gerade.
Der abgebildete Graph gehört zu y = 2 / x − 2.
Erklärung: Die waagrechte Asymptote liegt bei y = 2 (oberhalb der x-Achse), also wurde 2 addiert: y = 2 / x + 2. Bei − 2 läge sie bei y = −2.
Aus y = 2 / x (gestrichelt) entsteht der abgebildete Graph durch Verschieben. Um wie viel und wohin wurde verschoben?
Erklärung: Die waagrechte Asymptote liegt jetzt bei y = −3, die senkrechte weiter bei x = 0: Der Graph ist um 3 nach unten verschoben (y = 2 / x − 3). Eine Verschiebung nach links oder rechts würde die y-Achse als Asymptote verlassen.
Berechne y für x = 2 bei y = 6 / x + 1.
Erklärung: y = 6 : 2 + 1 = 3 + 1 = 4. Erst durch x teilen, dann c = 1 addieren.
Für sehr große x nähert sich y = 4 / x − 3 einem festen Wert. Welchem?
Erklärung: Der Bruch 4 / x wird beliebig klein, nur das c = −3 bleibt: y nähert sich −3. Die waagrechte Asymptote ist y = −3.
Welche Asymptoten hat y = 2 / (x − 1) − 1?
Erklärung: Aus y = a / (x − b) + c liest man x = b und y = c ab: b = 1 und c = −1. Vorzeichen fehlerhaft übernommen ergeben x = −1 und y = 1 (beide umgedreht) oder y = 1 (nur c umgedreht).
Welche Definitionsmenge hat y = 4 / (x + 2) + 3?
Erklärung: Der Nenner x + 2 ist 0 für x = −2: D = ℚ \ {−2}. Die 2 ohne Vorzeichen übersieht, dass x + 2 = x − (−2) ist. Die 3 ist c, sie verändert den Nenner nicht.
Der abgebildete Graph hat ein Asymptotenkreuz mit dem Mittelpunkt M. Welche Gleichungen haben die Asymptoten?
Erklärung: Die senkrechte Asymptote ist die Gerade x = 2 (Mittelpunkt liegt bei x = 2), die waagrechte y = 1. Bei x = 1 und y = 2 sind die Koordinaten vertauscht, bei −2 und −1 die Vorzeichen.
Für y = 5 / (x − 2) + 7 ist die waagrechte Asymptote y = ___.
Erklärung: In y = a / (x − b) + c ist die waagrechte Asymptote y = c, hier y = 7. Die 2 gehört zur senkrechten Asymptote x = 2.
Berechne die x-Koordinate des Mittelpunkts des Asymptotenkreuzes von y = 3 / (x + 1) − 4.
Erklärung: Die senkrechte Asymptote liegt bei x = −1 (Nenner x + 1 = 0). Der Mittelpunkt ist M(−1 | −4); seine x-Koordinate ist b = −1.
Gegeben ist y = 2 / (x + 3) − 2. Gib die Definitionsmenge, beide Asymptoten und den Mittelpunkt M des Asymptotenkreuzes an. Beschreibe, wie der Graph aus der Hyperbel y = 2 / x entsteht.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: x + 3 = x − (−3) gibt b = −3, c = −2. D = ℚ \ {−3}, Asymptoten x = −3 und y = −2, M(−3 | −2). Verschiebung: 3 nach links, 2 nach unten.