Verschieben mit b und c

Shifting with b and c

Mathematik Klasse 8 18 Aufgaben

FunktionenAsymptotenHyperbel

In y = a / (x − b) + c verschiebt b die Hyperbel in x-Richtung (die senkrechte Asymptote liegt bei x = b, D = ℚ \ {b}) und c in y-Richtung (die waagrechte Asymptote liegt bei y = c). Die Asymptoten bilden ein Kreuz mit dem Mittelpunkt M(b | c). Die Station räumt die Vorzeichenfalle aus, dass x + 3 nach rechts verschiebt (Zazkis, Liljedahl & Gadowsky 2003), und die Verwechslung der beiden Verschiebungsrichtungen. Bereitet die Achsenschnittpunkte, das Zeichnen und das Ablesen der Parameter vor.

Verschieben mit b

Die Hyperbel $y = \frac{2}{x}$ lässt sich verschieben. Ersetzt man x durch $x - b$ , entsteht $y = \frac{2}{x - b}$ Der Nenner ist 0 für $x = b$ : Dort liegt jetzt die senkrechte Asymptote, und es ist $D = Q ∖ {b}$ . Der Graph wandert um b nach rechts (bei negativem b nach links). Beispiel: Bei $y = \frac{2}{x - 3}$ wandern die Punkte (1 | 2) und (2 | 1) von $y = \frac{2}{x}$ nach (4 | 2) und (5 | 1).

Vorsicht bei $\frac{2}{x + 3}$ : Das ist $x - (- 3)$ , also b = −3. Der Graph liegt links, nicht rechts.

Ändere b und beobachte die grüne Asymptote. Wohin wandert der Graph bei negativem b?

Verschieben mit c

Addiert man eine Zahl c, wird jeder y-Wert um c größer: $y = \frac{2}{x} + c$ Der ganze Graph wandert um c nach oben (bei negativem c nach unten), und die waagrechte Asymptote liegt jetzt bei $y = c$ . Die Definitionsmenge bleibt $Q ∖ {0}$ , denn c berührt den Nenner nicht. Die Punkte (1 | 2) und (2 | 1) von $y = \frac{2}{x}$ wandern bei $c = 3$ nach (1 | 5) und (2 | 4).

Ändere c. Was passiert mit der senkrechten Asymptote und was mit der waagrechten?

Beide zusammen

Beides zusammen ergibt $y = \frac{a}{x - b} + c$ Die Asymptoten $x = b$ und $y = c$ bilden ein Kreuz mit dem Mittelpunkt $M (b ∣ c)$ , und man liest ohne Rechnung ab: $D = Q ∖ {b}$ . Beispiel: $y = \frac{2}{x - 1} - 1$ hat $D = Q ∖ {1}$ und die Asymptoten $x = 1$ und $y = - 1$ . Merke: b verschiebt nach rechts, c nach oben, und bei b steht das Minus schon in der Formel.

Stelle b = 1 und c = −1 ein. Wo liegt der Mittelpunkt M des Kreuzes?

Voraussetzungen (1)

Definitionsmenge und Asymptoten

Klasse 8

›

Ermöglicht (2)

Den Graphen zeichnen

Klasse 8

›

Schnittpunkte mit den Achsen

Klasse 8

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Um wie viel und wohin ist die Hyperbel y = 2 / (x − 3) gegenüber y = 2 / x verschoben?

● 3 nach rechts
○ 3 nach links
○ 3 nach oben

Der Nenner x − 3 ist 0 für x = 3: Die senkrechte Asymptote liegt bei x = 3, also ist der Graph um 3 nach rechts verschoben. Nach links (x + 3) verwechselt das Vorzeichen, nach oben wäre + 3 hinter dem Bruch.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Aus y = 2 / x (gestrichelt) entsteht der abgebildete Graph durch Verschieben. Welche Gleichung hat er?

● y = 2 / (x + 2)
○ y = 2 / (x − 2)
○ y = 2 / x + 2

Die senkrechte Asymptote liegt bei x = −2, der Graph ist um 2 nach links verschoben. Der Nenner muss bei x = −2 null werden: x + 2. x − 2 verschiebt nach rechts, + 2 hinter dem Bruch nach oben.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Der abgebildete Graph gehört zu y = 2 / (x − 1).

✓ Falsch

Die senkrechte Asymptote liegt bei x = −1, nicht bei x = 1. Der Nenner muss bei x = −1 null werden, also x + 1. Zu y = 2 / (x − 1) gehört die Asymptote x = 1.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welche senkrechte Asymptote hat der abgebildete Graph?

● x = 4
○ x = −4
○ y = 4

Die beiden Äste trennt die senkrechte Gerade x = 4: Links davon liegt der eine, rechts davon der andere Ast. x = −4 wäre die Asymptote von 2 / (x + 4), y = 4 eine waagrechte Gerade.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Wie ist die Hyperbel y = 2 / x + 3 gegenüber y = 2 / x verschoben?

● 3 nach oben
○ 3 nach rechts
○ 3 nach links

Die 3 wird zu jedem y-Wert addiert, also wandert der ganze Graph um 3 nach oben. In x-Richtung verschiebt nur eine Zahl im Nenner (x − b). Die waagrechte Asymptote liegt bei y = 3.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welche waagrechte Asymptote hat der abgebildete Graph von y = 2 / x − 4?

● y = −4
○ y = 4
○ x = −4

Zu jedem y-Wert wird −4 addiert, der Graph liegt um 4 tiefer, und die waagrechte Asymptote wandert von y = 0 nach y = −4. y = 4 verwechselt das Vorzeichen, x = −4 wäre eine senkrechte Gerade.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Der abgebildete Graph gehört zu y = 2 / x − 2.

✓ Falsch

Die waagrechte Asymptote liegt bei y = 2 (oberhalb der x-Achse), also wurde 2 addiert: y = 2 / x + 2. Bei − 2 läge sie bei y = −2.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Aus y = 2 / x (gestrichelt) entsteht der abgebildete Graph durch Verschieben. Um wie viel und wohin wurde verschoben?

● 3 nach unten
○ 3 nach links
○ 3 nach rechts

Die waagrechte Asymptote liegt jetzt bei y = −3, die senkrechte weiter bei x = 0: Der Graph ist um 3 nach unten verschoben (y = 2 / x − 3). Eine Verschiebung nach links oder rechts würde die y-Achse als Asymptote verlassen.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Welche Asymptoten hat y = 2 / (x − 1) − 1?

● x = 1 und y = −1
○ x = −1 und y = 1
○ x = 1 und y = 1

Aus y = a / (x − b) + c liest man x = b und y = c ab: b = 1 und c = −1. Vorzeichen fehlerhaft übernommen ergeben x = −1 und y = 1 (beide umgedreht) oder y = 1 (nur c umgedreht).

Multiple Choice #10 20s ▶ Testen

Welche Definitionsmenge hat y = 4 / (x + 2) + 3?

● ℚ \ {−2}
○ ℚ \ {2}
○ ℚ \ {3}

Der Nenner x + 2 ist 0 für x = −2: D = ℚ \ {−2}. Die 2 ohne Vorzeichen übersieht, dass x + 2 = x − (−2) ist. Die 3 ist c, sie verändert den Nenner nicht.

Multiple Choice #11 20s ▶ Testen

Der abgebildete Graph hat ein Asymptotenkreuz mit dem Mittelpunkt M. Welche Gleichungen haben die Asymptoten?

● x = 2 und y = 1
○ x = 1 und y = 2
○ x = −2 und y = −1

Die senkrechte Asymptote ist die Gerade x = 2 (Mittelpunkt liegt bei x = 2), die waagrechte y = 1. Bei x = 1 und y = 2 sind die Koordinaten vertauscht, bei −2 und −1 die Vorzeichen.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Die senkrechte Asymptote von y = 2 / (x − 5) ist x = ___.

✓ Antwort: 5

Der Nenner x − 5 ist 0 für x = 5. Dort liegt die senkrechte Asymptote, und 5 ist aus der Definitionsmenge ausgeschlossen.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne y für x = 2 bei y = 6 / x + 1.

✓ Antwort: 4

y = 6 : 2 + 1 = 3 + 1 = 4. Erst durch x teilen, dann c = 1 addieren.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Für y = 5 / (x − 2) + 7 ist die waagrechte Asymptote y = ___.

✓ Antwort: 7

In y = a / (x − b) + c ist die waagrechte Asymptote y = c, hier y = 7. Die 2 gehört zur senkrechten Asymptote x = 2.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für y = 6 / (x + 4) darf eine Zahl nicht für x eingesetzt werden. Welche?

✓ Antwort: -4

Der Nenner x + 4 ist 0 für x = −4. Das Vorzeichen dreht sich um: Bei x + 4 ist b = −4, und D = ℚ \ {−4}.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für sehr große x nähert sich y = 4 / x − 3 einem festen Wert. Welchem?

✓ Antwort: -3

Der Bruch 4 / x wird beliebig klein, nur das c = −3 bleibt: y nähert sich −3. Die waagrechte Asymptote ist y = −3.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne die x-Koordinate des Mittelpunkts des Asymptotenkreuzes von y = 3 / (x + 1) − 4.

✓ Antwort: -1

Die senkrechte Asymptote liegt bei x = −1 (Nenner x + 1 = 0). Der Mittelpunkt ist M(−1 | −4); seine x-Koordinate ist b = −1.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Gegeben ist y = 2 / (x + 3) − 2. Gib die Definitionsmenge, beide Asymptoten und den Mittelpunkt M des Asymptotenkreuzes an. Beschreibe, wie der Graph aus der Hyperbel y = 2 / x entsteht. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: x + 3 = x − (−3), also b = −3 und c = −2. D = ℚ \ {−3}. Asymptoten x = −3 und y = −2, Mittelpunkt M(−3 | −2). Der Graph entsteht aus y = 2 / x durch Verschieben um 3 nach links und um 2 nach unten.

x + 3 = x − (−3) gibt b = −3, c = −2. D = ℚ \ {−3}, Asymptoten x = −3 und y = −2, M(−3 | −2). Verschiebung: 3 nach links, 2 nach unten.