Der Punkt (2 | 5) liegt auf dem Graphen von f. Welcher Punkt liegt dann auf dem Graphen von f⁻¹?

Erklärung: Bei f⁻¹ tauschen Eingang und Ausgang die Rollen: f(2) = 5 heißt f⁻¹(5) = 2. (−2 | −5) wäre die Spiegelung am Ursprung, (2 | −5) die an der x-Achse.

Für f(x) = x² mit x ≥ 0 liegt der Punkt B(4 | 2) auf dem Graphen von f⁻¹.

Erklärung: Der Graph von f enthält A(2 | 4), denn f(2) = 4. Also enthält der Graph von f⁻¹ den Punkt mit vertauschten Koordinaten, B(4 | 2): f⁻¹(4) = 2.

Für eine Funktion f gilt f(3) = 11. Wie groß ist f⁻¹(11)?

Erklärung: f(3) = 11 bedeutet, dass die Umkehrfunktion aus 11 wieder 3 macht: f⁻¹(11) = 3.

Für f(x) = 2x + 1 liegt (4 | y) auf dem Graphen von f. Wie lautet die x-Koordinate des zugehörigen Punktes auf dem Graphen von f⁻¹?

Erklärung: y = f(4) = 2 · 4 + 1 = 9. Der Punkt (4 | 9) wird zu (9 | 4): Auf dem Graphen von f⁻¹ hat er die x-Koordinate 9.

Für f(x) = 2x gilt f(6) = 12. Welchen Wert hat f⁻¹(12)?

Erklärung: f⁻¹ macht f rückgängig: f(6) = 12 heißt f⁻¹(12) = 6. Der Kehrwert 1/12 wäre 1/f(6), und 24 = 2 · 12 wendet f noch einmal an.

Für f(x) = 2x + 4 gilt f⁻¹(x) = 1/(2x + 4).

Erklärung: f⁻¹ ist nicht der Kehrwert von f. Aus y = 2x + 4 folgt x = (y − 4)/2, also f⁻¹(x) = (x − 4)/2. Kontrolle: f⁻¹(8) = 2, aber 1/(2 · 8 + 4) = 0,05.

Für f(x) = 5x soll f⁻¹(10) berechnet werden. Wie lautet das Ergebnis?

Erklärung: Gesucht ist das x mit 5x = 10, also x = 2. Also f⁻¹(10) = 2. Der Kehrwert 1/f(10) = 1/50 ist etwas anderes.

Für f(x) = 3x − 2 soll f⁻¹(7) berechnet werden. Wie lautet das Ergebnis?

Erklärung: Gesucht ist das x mit 3x − 2 = 7, also 3x = 9 und x = 3. Kontrolle: f(3) = 7. Der Kehrwert 1/f(7) = 1/19 gehört nicht zur Aufgabe.

Welcher Punkt ist der Spiegelpunkt von A(1 | 3) an der Geraden y = x?

Erklärung: Die Spiegelung an y = x vertauscht die Koordinaten. (−1 | 3) entstünde bei der Spiegelung an der y-Achse, (1 | −3) bei der an der x-Achse.

Die gestrichelte Kurve ist der Graph von f⁻¹, wenn f(x) = 2ˣ ist.

Erklärung: Sie entsteht aus dem Graphen von 2ˣ durch Spiegelung an y = x: (1 | 2) wird zu (2 | 1), (3 | 8) zu (8 | 3). Das ist der Graph von log₂ x.

Die gestrichelte Kurve ist der Graph von f⁻¹, wenn f(x) = 2ˣ ist.

Erklärung: Die gestrichelte Kurve ist an der x-Achse gespiegelt (y = −2ˣ), nicht an y = x. Der Graph von f⁻¹ läge im I. und IV. Quadranten rechts von der y-Achse.

Der Punkt A(2 | 7) wird an der Geraden y = x gespiegelt. Wie lautet die x-Koordinate des Spiegelpunkts?

Erklärung: Die Koordinaten werden vertauscht: A′(7 | 2). Die x-Koordinate ist 7.

Die Graphen von f(x) = 2x − 3 und f⁻¹ schneiden sich auf der Geraden y = x, denn Punkte auf y = x bleiben beim Spiegeln an ihrem Platz. Berechne die x-Koordinate dieses Schnittpunkts.

Erklärung: Gesucht ist ein Punkt mit f(x) = x: 2x − 3 = x ergibt x = 3. Der Punkt (3 | 3) liegt auf beiden Graphen.

Für f(x) = 2ˣ ist W(f) = ]0; ∞[. Welche Definitionsmenge hat f⁻¹?

Erklärung: Die Definitionsmenge von f⁻¹ ist die Wertemenge von f. Der Graph von 2ˣ liegt oberhalb der x-Achse, nimmt 0 aber nie an. ℝ ist die Definitionsmenge von f selbst.

Für f(x) = x² auf [0; 3] hat f⁻¹ die Definitionsmenge [0; 3].

Erklärung: Die Definitionsmenge von f⁻¹ ist W(f) = [0; 9], denn f(3) = 9. [0; 3] ist die Definitionsmenge von f.

Für f(x) = x² auf [0; 5] hat f⁻¹ eine Definitionsmenge [0; b]. Wie groß ist b?

Erklärung: D(f⁻¹) = W(f) = [0; 25], denn f(5) = 25 ist der größte Wert von f.

Die Funktion f(x) = √x ist auf [1; 25] definiert. Wie groß ist der größte Wert der Definitionsmenge von f⁻¹?

Erklärung: D(f⁻¹) = W(f) = [√1; √25] = [1; 5]. Der größte Wert ist 5. (Die 25 ist der größte Wert von D(f), nicht von D(f⁻¹).)

Gegeben ist f(x) = x² + 1 für x ≥ 0. Berechne f(0), f(1) und f(2) und gib die zugehörigen Punkte auf dem Graphen von f⁻¹ an. Gib außerdem D(f), W(f), D(f⁻¹) und W(f⁻¹) an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Die Koordinaten tauschen die Plätze, und die Mengen tauschen die Rollen: D(f⁻¹) = W(f) = [1; ∞[ und W(f⁻¹) = D(f) = [0; ∞[.

Aufgabe 1 von 18