Der Graph der Umkehrfunktion
The graph of the inverse function
Bei der Umkehrfunktion tauschen Eingang und Ausgang die Rollen: Liegt (a | b) auf dem Graphen von f, so liegt (b | a) auf dem Graphen von f⁻¹. Der Graph von f⁻¹ ist deshalb der an der Winkelhalbierenden y = x gespiegelte Graph von f, und Definitions- und Wertemenge tauschen ihre Plätze. Der Abschnitt räumt drei Fehlvorstellungen aus: f⁻¹(x) sei der Kehrwert 1/f(x), gespiegelt werde an einer Koordinatenachse, und die Mengen blieben gleich. Er bereitet den Term der Umkehrfunktion, die Wurzelfunktion und im Folgekurs den Logarithmus als Umkehrung von eˣ vor.
Eingang und Ausgang tauschen
Die Funktion
Spiegelung an y = x
Vertauscht man bei jedem Punkt die Koordinaten, wird der Punkt an der Geraden
Definitions- und Wertemenge
Weil Eingang und Ausgang die Rollen tauschen, tauschen auch die Mengen:
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (2)
Der Punkt (2 | 5) liegt auf dem Graphen von f. Welcher Punkt liegt dann auf dem Graphen von f⁻¹?
Für f(x) = x² mit x ≥ 0 liegt der Punkt B(4 | 2) auf dem Graphen von f⁻¹.
Für f(x) = 2x gilt f(6) = 12. Welchen Wert hat f⁻¹(12)?
Für f(x) = 2x + 4 gilt f⁻¹(x) = 1/(2x + 4).
Welcher Punkt ist der Spiegelpunkt von A(1 | 3) an der Geraden y = x?
Die gestrichelte Kurve ist der Graph von f⁻¹, wenn f(x) = 2ˣ ist.
Die gestrichelte Kurve ist der Graph von f⁻¹, wenn f(x) = 2ˣ ist.
Für f(x) = 2ˣ ist W(f) = ]0; ∞[. Welche Definitionsmenge hat f⁻¹?
Für f(x) = x² auf [0; 3] hat f⁻¹ die Definitionsmenge [0; 3].
Für eine Funktion f gilt f(3) = 11. Wie groß ist f⁻¹(11)?
Für f(x) = 5x soll f⁻¹(10) berechnet werden. Wie lautet das Ergebnis?
Der Punkt A(2 | 7) wird an der Geraden y = x gespiegelt. Wie lautet die x-Koordinate des Spiegelpunkts?
Für f(x) = x² auf [0; 5] hat f⁻¹ eine Definitionsmenge [0; b]. Wie groß ist b?
Für f(x) = 2x + 1 liegt (4 | y) auf dem Graphen von f. Wie lautet die x-Koordinate des zugehörigen Punktes auf dem Graphen von f⁻¹?
Für f(x) = 3x − 2 soll f⁻¹(7) berechnet werden. Wie lautet das Ergebnis?
Die Graphen von f(x) = 2x − 3 und f⁻¹ schneiden sich auf der Geraden y = x, denn Punkte auf y = x bleiben beim Spiegeln an ihrem Platz. Berechne die x-Koordinate dieses Schnittpunkts.
Die Funktion f(x) = √x ist auf [1; 25] definiert. Wie groß ist der größte Wert der Definitionsmenge von f⁻¹?
Gegeben ist f(x) = x² + 1 für x ≥ 0. Berechne f(0), f(1) und f(2) und gib die zugehörigen Punkte auf dem Graphen von f⁻¹ an. Gib außerdem D(f), W(f), D(f⁻¹) und W(f⁻¹) an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.