Welche Potenz ist gleich der dritten Wurzel ∛x (für x > 0)?

Erklärung: Es gilt (x^(1/3))³ = x¹. x^(−3) = 1/x³ ist etwas ganz anderes, und x/3 ist ein Drittel von x.

Der Graph gehört zu f(x) = x^r und geht durch den Punkt (8 | 2). Welchen Wert hat r?

Erklärung: Aus 8^r = 2 folgt r = 1/3, denn ∛8 = 2. Bei r = 3 wäre 8³ = 512, und 8^(1/2) = √8 ≈ 2,83.

Berechne 8^(2/3).

Erklärung: 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4. Erst die dritte Wurzel, dann quadrieren.

Berechne 16^(3/4).

Erklärung: 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8, denn 2⁴ = 16.

Welche Ableitung hat f(x) = x^(3/2)?

Erklärung: Der Exponent wird zum Faktor, der neue Exponent ist 3/2 − 1 = 1/2. Bei x^(3/2) bliebe der Exponent unverändert, und x^(5/2) hätte 1 addiert statt subtrahiert.

Die Tangente an den Graphen von f(x) = x^(3/2) im Punkt (4 | 8) hat die Steigung 3.

Erklärung: f′(x) = (3/2) · x^(1/2), also f′(4) = (3/2) · 2 = 3.

Berechne die Steigung von f(x) = x^(5/2) an der Stelle x = 1.

Erklärung: f′(x) = (5/2) · x^(3/2), also f′(1) = (5/2) · 1 = 2,5.

Schreibe f(x) = 1/√x als Potenz und berechne f′(4).

Erklärung: f(x) = x^(−1/2), also f′(x) = −(1/2) · x^(−3/2). Bei x = 4: −(1/2) · 4^(−3/2) = −(1/2) · (1/8) = −1/16 = −0,0625.

Welche Ableitung hat f(x) = √(2x + 1)?

Erklärung: Äußere Ableitung 1/(2√u) mal innere Ableitung 2 gibt 2/(2√u) = 1/√u. Ohne die innere Ableitung entstünde 1/(2√(2x + 1)), ohne den Faktor ½ dagegen 2/√(2x + 1).

Welche Ableitung hat f(x) = √(x² + 1)?

Erklärung: Innere Ableitung 2x, äußere 1/(2√u): 2x/(2√u) = x/√u. Bei 2x/√(x² + 1) wurde der Faktor ½ vergessen, und ohne 2x fehlt die innere Ableitung.

Die Tangente an den Graphen von f(x) = √(2x + 1) im Punkt (4 | 3) hat die Steigung ⅙.

Erklärung: f′(x) = 1/√(2x + 1), also f′(4) = 1/√9 = 1/3. Die Steigung 1/6 entsteht, wenn die innere Ableitung 2 fehlt.

Berechne die Steigung der Tangente an den abgebildeten Graphen von f(x) = √(x + 5) im Punkt (4 | 3).

Erklärung: f′(x) = 1/(2√(x + 5)), also f′(4) = 1/(2 · 3) = 1/6 ≈ 0,167. Die innere Ableitung ist 1.

Berechne die Steigung der Tangente an den abgebildeten Graphen von f(x) = √(3x + 4) im Punkt (4 | 4).

Erklärung: f′(x) = 3/(2√(3x + 4)), also f′(4) = 3/(2 · 4) = 3/8 = 0,375. Die innere Ableitung 3 steht im Zähler.

Welche Ableitung hat f(x) = x · √x?

Erklärung: Produktregel: 1 · √x + x · 1/(2√x) = √x + √x/2 = (3/2)√x. Das Produkt der Ableitungen 1 · 1/(2√x) ist falsch, und √x + 1/(2√x) vergisst den Faktor x.

Welche Ableitung hat f(x) = √x/(x + 1)?

Erklärung: Quotientenregel: [(x + 1)/(2√x) − √x]/(x + 1)² = (1 − x)/(2√x · (x + 1)²). Bei (3x + 1) wurde der Zähler mit Plus statt Minus zusammengesetzt, und 1/(2√x) ignoriert den Nenner.

Berechne die Steigung von f(x) = x · √x an der Stelle x = 9.

Erklärung: f′(x) = (3/2) · √x, also f′(9) = (3/2) · 3 = 4,5.

Berechne die Steigung von g(x) = √x/(x + 1) an der Stelle x = 4.

Erklärung: g′(x) = (1 − x)/(2√x · (x + 1)²), also g′(4) = (1 − 4)/(2 · 2 · 25) = −3/100 = −0,03.

Leite f(x) = x · √(x + 1) mit Produkt- und Kettenregel ab, fasse zu einem Bruch zusammen und berechne f′(3). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Produktregel: f′ = √(x + 1) + x · 1/(2√(x + 1)). Auf den Hauptnenner 2√(x + 1) gebracht: (2(x + 1) + x)/(2√(x + 1)) = (3x + 2)/(2√(x + 1)).

Aufgabe 1 von 18