Rationale Exponenten ableiten

Differentiating rational exponents

Mathematik Klasse 12 18 Aufgaben

AnalysisPotenzenAbleitungen

Wurzeln sind Potenzen mit gebrochenem Exponenten: √x = x^(1/2), x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ) für x > 0. Die Potenzregel (x^r)′ = r · x^(r−1) gilt weiter und liefert (√x)′ = 1/(2√x) zurück. Steht unter der Wurzel ein Term u(x), gilt (√u)′ = u′/(2√u); Produkt- und Quotientenregel arbeiten mit Wurzeltermen wie sonst. Der Abschnitt räumt drei Fehlvorstellungen aus: Der Exponent bleibe beim Ableiten unverändert, r − 1 werde falsch gerechnet (½ − 1 = ½), und die innere Ableitung dürfe entfallen. Er bereitet das Untersuchen von Wurzelfunktionen und im Folgekurs die Ableitung von ln vor.

Wurzeln als Potenzen

Damit die Potenzgesetze weiter gelten, schreibt man $x = x^{1/2}$ , denn $(x^{1/2})^{2} = x^{1}$ . Ebenso ist $3 x = x^{1/3}$ , weil $(x^{1/3})^{3} = x$ . Allgemein gilt für x > 0 $x^{m / n} = n x^{m}$ ; Beispiele sind $x^{3/2} = x x$ und $x^{- 1/2} = \frac{1}{x}$ . Der Exponent r bestimmt die Form des Graphen: Bei r = 1 ist er eine Gerade, bei r = ½ die Wurzelfunktion. Die Schreibweise gilt für x > 0; für negative x sind gebrochene Exponenten nicht erklärt.

Ändere den Exponenten r. Für welche r liegt der Punkt bei x = 4 über, für welche unter der Geraden y = x?

Die Potenzregel bleibt

Für jeden rationalen Exponenten r und x > 0 gilt $(x^{r})^{'} = r \cdot x^{r - 1}$ : Der Exponent wird zum Faktor, der neue Exponent ist um 1 kleiner. Mit r = ½ ergibt sich $\frac{1}{2} x^{- 1/2} = \frac{1}{2 x}$ , genau die Ableitung der Wurzelfunktion. Weitere Beispiele: $(x^{3/2})^{'} = \frac{3}{2} x^{1/2}$ und $(3 x)^{'} = \frac{1}{3} x^{- 2/3}$ . Achte auf den Exponenten: ½ − 1 = −½, und bei $1/ x$ schreibt man zuerst $x^{- 1/2}$ , dann leitet man ab.

Stelle x = 1 ein und ändere r. Welche Steigung hat die Tangente dort?

Verkettung, Produkt, Quotient

Steht unter der Wurzel ein Term u(x), liefert die Kettenregel $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ : äußere Ableitung mal innere. So ist $(2 x + 1)^{'} = \frac{2}{2 2 x + 1} = \frac{1}{2 x + 1}$ ; die innere Ableitung 2 darf nicht fehlen. Bei $x x + 1$ hilft die Produktregel: $x + 1 + \frac{x}{2 x + 1} = \frac{3 x + 2}{2 x + 1}$ . Bei einem Bruch wie $\frac{x}{x + 1}$ nimmt man die Quotientenregel. Nach dem Ableiten lohnt es sich, auf einen Nenner zu bringen, damit man Nullstellen der Ableitung sieht.

Ändere a und x. Stimmt die Tangentensteigung immer mit der Formel überein?

Voraussetzungen (1)

Die Wurzelfunktion

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Potenz ist gleich der dritten Wurzel ∛x (für x > 0)?

● x^(1/3)
○ x^(−3)
○ x/3

Es gilt (x^(1/3))³ = x¹. x^(−3) = 1/x³ ist etwas ganz anderes, und x/3 ist ein Drittel von x.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = x^r und geht durch den Punkt (8 | 2). Welchen Wert hat r?

● 1/3
○ 3
○ 1/2

Aus 8^r = 2 folgt r = 1/3, denn ∛8 = 2. Bei r = 3 wäre 8³ = 512, und 8^(1/2) = √8 ≈ 2,83.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = x^(3/2)?

● f′(x) = (3/2) · x^(1/2)
○ f′(x) = (3/2) · x^(3/2)
○ f′(x) = (3/2) · x^(5/2)

Der Exponent wird zum Faktor, der neue Exponent ist 3/2 − 1 = 1/2. Bei x^(3/2) bliebe der Exponent unverändert, und x^(5/2) hätte 1 addiert statt subtrahiert.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Die Tangente an den Graphen von f(x) = x^(3/2) im Punkt (4 | 8) hat die Steigung 3.

✓ Wahr

f′(x) = (3/2) · x^(1/2), also f′(4) = (3/2) · 2 = 3.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = √(2x + 1)?

● f′(x) = 1/√(2x + 1)
○ f′(x) = 1/(2√(2x + 1))
○ f′(x) = 2/√(2x + 1)

Äußere Ableitung 1/(2√u) mal innere Ableitung 2 gibt 2/(2√u) = 1/√u. Ohne die innere Ableitung entstünde 1/(2√(2x + 1)), ohne den Faktor ½ dagegen 2/√(2x + 1).

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = √(x² + 1)?

● f′(x) = x/√(x² + 1)
○ f′(x) = 1/(2√(x² + 1))
○ f′(x) = 2x/√(x² + 1)

Innere Ableitung 2x, äußere 1/(2√u): 2x/(2√u) = x/√u. Bei 2x/√(x² + 1) wurde der Faktor ½ vergessen, und ohne 2x fehlt die innere Ableitung.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Die Tangente an den Graphen von f(x) = √(2x + 1) im Punkt (4 | 3) hat die Steigung ⅙.

✓ Falsch

f′(x) = 1/√(2x + 1), also f′(4) = 1/√9 = 1/3. Die Steigung 1/6 entsteht, wenn die innere Ableitung 2 fehlt.

Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = x · √x?

● f′(x) = (3/2) · √x
○ f′(x) = 1/(2√x)
○ f′(x) = √x + 1/(2√x)

Produktregel: 1 · √x + x · 1/(2√x) = √x + √x/2 = (3/2)√x. Das Produkt der Ableitungen 1 · 1/(2√x) ist falsch, und √x + 1/(2√x) vergisst den Faktor x.

Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Welche Ableitung hat f(x) = √x/(x + 1)?

● f′(x) = (1 − x)/(2√x · (x + 1)²)
○ f′(x) = (3x + 1)/(2√x · (x + 1)²)
○ f′(x) = 1/(2√x)

Quotientenregel: [(x + 1)/(2√x) − √x]/(x + 1)² = (1 − x)/(2√x · (x + 1)²). Bei (3x + 1) wurde der Zähler mit Plus statt Minus zusammengesetzt, und 1/(2√x) ignoriert den Nenner.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne 8^(2/3).

✓ Antwort: 4

8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4. Erst die dritte Wurzel, dann quadrieren.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne die Steigung von f(x) = x^(5/2) an der Stelle x = 1.

✓ Antwort: 2.5

f′(x) = (5/2) · x^(3/2), also f′(1) = (5/2) · 1 = 2,5.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne die Steigung der Tangente an den abgebildeten Graphen von f(x) = √(x + 5) im Punkt (4 | 3).

✓ Antwort: 0.1667

f′(x) = 1/(2√(x + 5)), also f′(4) = 1/(2 · 3) = 1/6 ≈ 0,167. Die innere Ableitung ist 1.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne die Steigung von f(x) = x · √x an der Stelle x = 9.

✓ Antwort: 4.5

f′(x) = (3/2) · √x, also f′(9) = (3/2) · 3 = 4,5.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne 16^(3/4).

✓ Antwort: 8

16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8, denn 2⁴ = 16.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Schreibe f(x) = 1/√x als Potenz und berechne f′(4).

✓ Antwort: -0.0625

f(x) = x^(−1/2), also f′(x) = −(1/2) · x^(−3/2). Bei x = 4: −(1/2) · 4^(−3/2) = −(1/2) · (1/8) = −1/16 = −0,0625.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne die Steigung der Tangente an den abgebildeten Graphen von f(x) = √(3x + 4) im Punkt (4 | 4).

✓ Antwort: 0.375

f′(x) = 3/(2√(3x + 4)), also f′(4) = 3/(2 · 4) = 3/8 = 0,375. Die innere Ableitung 3 steht im Zähler.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne die Steigung von g(x) = √x/(x + 1) an der Stelle x = 4.

✓ Antwort: -0.03

g′(x) = (1 − x)/(2√x · (x + 1)²), also g′(4) = (1 − 4)/(2 · 2 · 25) = −3/100 = −0,03.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Leite f(x) = x · √(x + 1) mit Produkt- und Kettenregel ab, fasse zu einem Bruch zusammen und berechne f′(3). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: u = x, v = √(x + 1): u′ = 1, v′ = 1/(2√(x + 1)) (Kettenregel). f′(x) = √(x + 1) + x/(2√(x + 1)) = (2(x + 1) + x)/(2√(x + 1)) = (3x + 2)/(2√(x + 1)). f′(3) = 11/(2 · 2) = 11/4 = 2,75.

Produktregel: f′ = √(x + 1) + x · 1/(2√(x + 1)). Auf den Hauptnenner 2√(x + 1) gebracht: (2(x + 1) + x)/(2√(x + 1)) = (3x + 2)/(2√(x + 1)).