Welcher Term gehört zur Umkehrfunktion von f(x) = 3x − 6?

Erklärung: Aus y = 3x − 6 folgt 3x = y + 6, also x = (y + 6)/3. Bei (x − 6)/3 wurde das Vorzeichen nicht umgekehrt, und 1/(3x − 6) ist der Kehrwert, keine Umkehrfunktion.

Der Graph von f ist eine Gerade. Welcher Term gehört zu f⁻¹?

Erklärung: Aus dem Graphen liest man f(x) = 2x − 1 ab. Dann gilt y = 2x − 1, x = (y + 1)/2 und f⁻¹(x) = (x + 1)/2. Probe: f⁻¹(1) = 1, und tatsächlich liegt (1 | 1) auf der Geraden.

Für f(x) = 4x + 8 hat der Graph von f⁻¹ die Steigung ¼.

Erklärung: Aus y = 4x + 8 folgt x = (y − 8)/4, also f⁻¹(x) = x/4 − 2. Die Steigung 4 wird beim Umkehren zu ¼.

Für f(x) = 2x + 7 gilt f⁻¹(x) = (x − 7)/2. Berechne f⁻¹(11).

Erklärung: f⁻¹(11) = (11 − 7)/2 = 2. Zur Kontrolle: f(2) = 2 · 2 + 7 = 11.

Eine Fahrt kostet K(s) = 2,5 · s + 4 (in Euro bei s Kilometern). Wie viele Kilometer ergibt K⁻¹(24), also den Weg, der 24 Euro kostet?

Erklärung: Aus 24 = 2,5 · s + 4 folgt 2,5 · s = 20 und s = 8. Allgemein K⁻¹(x) = (x − 4)/2,5, hier (24 − 4)/2,5 = 8.

Welche Funktion g besteht für f(x) = 3x − 1 die Probe f(g(x)) = x?

Erklärung: f((x + 1)/3) = 3 · (x + 1)/3 − 1 = x. Bei (x − 1)/3 ergibt die Probe x − 2, bei 3x + 1 ergibt sie 9x + 2.

Für f(x) = 2x − 4 und g(x) = (x + 4)/2 gilt g(f(x)) = x.

Erklärung: g(f(x)) = (2x − 4 + 4)/2 = 2x/2 = x. Damit ist g die Umkehrfunktion von f.

Für f(x) = 2x − 4 und g(x) = (x − 4)/2 gilt f(g(x)) = x.

Erklärung: f(g(x)) = 2 · (x − 4)/2 − 4 = x − 8. Die Probe scheitert: Beim Auflösen von y = 2x − 4 muss man 4 addieren, nicht subtrahieren.

Die Funktion g ist die Umkehrfunktion einer Funktion f. Was ergibt f(g(12))?

Erklärung: g(12) ist die Zahl, die f auf 12 abbildet. Wendet man f darauf an, kommt 12 heraus, allgemein f(f⁻¹(x)) = x.

Für f(x) = 3x − 6 wurde fälschlich g(x) = (x − 6)/3 bestimmt. Berechne f(g(9)) als Probe.

Erklärung: g(9) = (9 − 6)/3 = 1 und f(1) = 3 · 1 − 6 = −3, nicht 9. Die Probe deckt den Fehler auf. Richtig wäre g(x) = (x + 6)/3 mit g(9) = 5 und f(5) = 9.

Welche Umkehrfunktion hat f(x) = x² + 1 mit x ≥ 0?

Erklärung: Aus y = x² + 1 folgt x² = y − 1. Wegen x ≥ 0 gilt x = +√(y − 1). Mit dem Minuszeichen läge der linke Ast vor, und √x − 1 würde erst nach dem Wurzelziehen 1 abziehen.

Welche Umkehrfunktion hat f(x) = x² − 4 mit x ≤ 0?

Erklärung: Aus y = x² − 4 folgt x² = y + 4. Auf dem linken Ast ist x ≤ 0, also x = −√(y + 4). Bei √(x + 4) läge der rechte Ast vor, und x − 4 unter der Wurzel hätte das Vorzeichen der 4 vertauscht.

Die gestrichelte Kurve ist der Graph der Umkehrfunktion von f(x) = x² auf x ≤ 0.

Erklärung: Die gestrichelte Kurve √x ist das Spiegelbild des rechten Astes. Der linke Ast wird zu −√x gespiegelt, einer Kurve unterhalb der x-Achse.

Für f(x) = x² + 1 mit x ≥ 0 gilt f⁻¹(x) = √(x − 1). Berechne f⁻¹(10).

Erklärung: f⁻¹(10) = √(10 − 1) = √9 = 3. Kontrolle: f(3) = 9 + 1 = 10.

Die Funktion f(x) = (x − 3)² + 2 ist auf ]−∞; 3] definiert. Ihre Umkehrfunktion ist f⁻¹(x) = 3 − √(x − 2). Berechne f⁻¹(11).

Erklärung: f⁻¹(11) = 3 − √9 = 0. Kontrolle: f(0) = (0 − 3)² + 2 = 11. Mit +√ käme 6 heraus, aber 6 liegt nicht in ]−∞; 3].

Für f(x) = √(x − 2) + 1 mit x ≥ 2 ist f⁻¹(x) = (x − 1)² + 2 für x ≥ 1. Berechne f⁻¹(4).

Erklärung: f⁻¹(4) = (4 − 1)² + 2 = 9 + 2 = 11. Kontrolle: f(11) = √9 + 1 = 4.

Bestimme die Umkehrfunktion von f(x) = x² − 2 mit x ≥ 0 einschließlich ihrer Definitionsmenge und mache die Probe f(f⁻¹(x)) = x. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Aus x² = y + 2 folgt wegen x ≥ 0 nur x = +√(y + 2). Die Definitionsmenge von f⁻¹ ist die Wertemenge von f, also [−2; ∞[.

Aufgabe 1 von 17